2014届高三数学一轮复习专讲：函数与方程

1．函数的零点(1)函数零点的定义：函数y＝f(x)的图像与称为这个函数的零点．横轴的交点的横坐标(2)几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)利用函数性质判定函数零点：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号，即，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．二分法每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个的方法称为二分法．相反f(a)f(b)0小区间[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是()答案：C2．(教材习题改编)在以下区间中，函数f(x)＝x3＋3x－3的零点所在的区间是()A．[－1,0]B．[1,2]C．[0,1]D．[2,3]解析：注意到f(－1)＝－70，f(0)＝－30，f(1)＝10，f(2)＝110，f(3)＝330，结合各选项知，C项正确．答案：C∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．∴零点为0和－12.A．0,2B．0，12C．0，－12D．2，－123．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是()解析：答案：C4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________(填区间)．解析：由f(2)·f(3)0可知x0∈(2,3)．答案：(2,3)5．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：∵函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点．∴f(0)f(1)0.即a(a＋2)0，解得－2a0.答案：(－2,0)1.函数的零点不是点：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．2．对函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在[a，b]上连续；(2)f(a)·f(b)0；(3)在(a，b)内存在零点．这是零点存在的一个充分条件，但不必要．3．对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．[例1](2012·唐山统考)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)确定函数零点所在的区间[自主解答]∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋10.∴函数f(x)在R上单调递增．f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－10，f(0)＝－30，f(1)＝e＋1－4＝e－30，f(2)＝e2＋2－4＝e2－20，f(1)f(2)0，故零点x0∈(1,2)．[答案]C利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．解析：设函数f(x)＝x3－12x－2，f(1)·f(2)0，且f(x)为单调函数，则x0∈(1,2)．1．(2013·衡水模拟)设函数y＝x3与y＝12x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B判断函数零点个数[例2](1)(2012·北京高考)函数f(x)＝x12－12x的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)(2013·北京东城区模拟)已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，log2x，x0，则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是()A．4B．3C．2D．1[自主解答](1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x12与y2＝12x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x12－12x只有1个零点．(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，又由f(－2)＝f12＝－1.可得f(x)＝－2或f(x)＝12.若f(x)＝－2，则x＝－3或x＝14；若f(x)＝12，则x＝－12或x＝2，综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．[答案](1)B(2)A判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．2．(2012·山东高考调研卷)已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．0解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.答案：D[例3](2011·辽宁高考改编)已知函数f(x)＝ex－x＋a有零点，则a的取值范围是________．[自主解答]∵f(x)＝ex－x＋a，∴f′(x)＝ex－1.令f′(x)＝0，得x＝0.当x0时，f′(x)0，函数f(x)在(－∞，0)上是减函数；当x0时，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．故f(x)min＝f(0)＝1＋a.若函数f(x)有零点，则f(x)min≤0，即1＋a≤0，得a≤－1.[答案](－∞，－1]函数零点的应用若函数变为f(x)＝lnx－2x＋a，其他条件不变，求a的取值范围．解：∵f(x)＝lnx－2x＋a，∴f′(x)＝1x－2.令f′(x)＝0，得x＝12.当0x≤12时f′(x)≥0，∴f(x)为增函数；当x12时，f′(x)0，∴f(x)为减函数．∴f(x)max＝f12＝ln12－1＋a.若f(x)有零点，则f(x)max≥0，即ln12－1＋a≥0.解得a≥1－ln12，a的取值范围为1＋ln2，＋∞.已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．3．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，则实数k的取值范围是______．解析：由f(x＋1)＝f(x－1)得，f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为2的函数．∵f(x)是偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，∴当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x，易得当x∈[1,2]时，f(x)＝－x＋2，当x∈[2,3]时，f(x)＝x－2.在区间[－1,3]上函数g(x)＝f(x)－kx－k有4个零点，即函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象在区间[－1,3]上有4个不同的交点．作出函数y＝f(x)与y＝kx＋k的图象如图所示，结合图形易知，k∈0，14.答案：0，14函数零点问题主要有四类：一是判断函数零点或方程根的个数；二是利用函数零点确定函数解析式；三是确定函数零点或方程根的取值范围；四是利用函数零点或根的个数求解参数的取值范围．解决这些问题主要用数形结合法．1．函数零点个数的判断函数零点的个数即为方程f(x)＝0根的个数，可转化为函数f(x)的图象与x轴交点的个数进行判断，也可转化为两个函数图象的交点个数(如例2(1))．2．利用函数零点求解函数解析式由函数的零点利用待定系数法求函数的解析式，求解时要结合函数的图象．[典例1]如图所示为f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象，则x21＋x22的值是()A.23B.43C.83D.169[解析]由图象可知，函数图象与x轴交于三点，(－1,0)，(0,0)，(2,0)，故该函数有三个零点－1,0,2.由f(0)＝0，得d＝0，故函数解析式可化为f(x)＝x3＋bx2＋cx＝x(x2＋bx＋c)，显然－1,2为方程x2＋bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得－1＋2＝－b，－1×2＝c，解得b＝－1，c＝－2.故f(x)＝x3－x2－2x.由图象可知，x1，x2为函数f(x)的两个极值点，又f′(x)＝3x2－2x－2，故x1，x2为f′(x)＝0，即3x2－2x－2＝0的两根，故x1＋x2＝23，x1·x2＝－23.故x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝232－2×－23＝169.[答案]D[题后悟道]确定零点与三次函数的各个系数之间的关系还可以根据零点写出函数解析式f(x)＝a(x－α)(x－β)(x－γ)，然后依据代数恒等式成立的条件——对应系数相等，找出彼此之间的关系．本题所求的问题类似于一元二次方程根与系数关系中的相关问题，要注意式子的灵活变形．类似的变形有(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2等．3．零点取值范围的确定函数零点的取值范围，即为方程f(x)＝0的根的取值范围，主要利用零点存在性定理解决，可结合函数的图象和性质，根据图象上的一些特殊点灵活处理(如本节例1)．4．由零点个数确定参数的取值范围根据函数零点的个数确定函数解析式中参数的取值范围，主要利用数形结合的方法，根据函数的极值与区间的端点值构造参数所满足的不等式，通过解不等式求解其取值范围．[典例2]已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋3，若函数g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，则m的取值范围为()A．(－24,8)B．(－24,1]C．[1,8]D．[1,8)[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)·(x－3)，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x∈[－2，－1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8；而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点．故m8，m≥1，即m∈[1,8)．[答案]D[题后悟道]解决此类问题主要依据函数图象的特征，利用区间端点处的函数值、函数的极值等构造关于参数的不等式．注意函数在区间的端点值对参数取值范围的影响．如该题中f(－2)与f(5)这两个端点值决定着方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上的零点个数，若m＝8或－24m1，则该方程有2个根；若m＝－24，则该方程有1个根；当m8或m－24时，则该方程没有实根．总之，解决函数零点的有关问题主要利用数形结合的数学思想，利用导数研究函数的有关性质，主要包括函数的单调性与极值以及函数在区间端点处的函数值，然后画出函数图象，结合函数图象的特征判断、求解．1．(2012·湖北高考)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4B