2014届高三数学一轮复习：对数与对数函数

1．对数1．对数的定义：如果ab＝N(a0且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数．aNb＝logaN2．几种常见对数：对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)logaN常用对数底数为lgN自然对数底数为lnN10e如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(M·N)＝；(2)logaMN＝；(3)logaMn＝(n∈R)；logaM－logaNnlogaMlogaM＋logaN二、对数的性质与运算法则1．对数的运算法则：2．对数的性质：(1)alogNa＝；(2)logaaN＝(a0且a≠1)．NN3．对数的重要公式：(1)换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；(2)logab＝1logba.三、对数函数的定义、图像与性质定义函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数图像a10a1[动漫演示更形象，见配套课件]定义函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数性质定义域：值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点当0x1时，y∈；当x1时，y∈当0x1时，y∈；当x1时，y∈在(0，＋∞)上为在(0，＋∞)上为(0，＋∞)(1,0)(－∞，0)(0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，0)增函数减函数四、指数函数与对数函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为，它们的图像关于直线对称．y＝x反函数[小题能否全取]答案：C1．(教材习题改编)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.2．(2012·白鹭洲模拟)若函数f(x)＝loga(x－1)(a0，a≠1)的图像恒过定点，则定点的坐标为()A．(1,0)B．(2,0)C．(1,1)D．(2,1)解析：由于loga1＝0，∴x＝2时f(2)＝loga1＝0，∴图像过点(2,0)．答案：B3．函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．答案：B4．(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．解析：由1－2log6x≥0，解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0，6]．答案：(0，6]5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.解析：由f(ab)＝1得ab＝10，于是f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2(lga＋lgb)＝2lg(ab)＝2lg10＝2.答案：21.在运用性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)．2．对数值取正、负值的规律：当a1且b1，或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1，或0a1且b1时，logab0.3．对数函数的定义域及单调性：在对数式中，真数必须大于0，所以对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．[例1]求解下列各题．(1)12lg3249－43lg8＋lg245＝________；(2)若2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________.对数式的化简与求值[自主解答](1)12lg3249－43lg8＋lg245＝12×(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(lg5＋2lg7)＝52lg2－lg7－2lg2＋12lg5＋lg7＝12lg2＋12lg5＝12lg(2×5)＝12.(2)由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10.∵1a＋1b＝2，∴logm10＝2，即m2＝10.解得m＝10(∵m0)．[答案](1)12(2)10对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．1．化简：(1)lg37＋lg70－lg3－lg23－lg9＋1；(2)lg4－lg60lg3＋lg53－45×2－11.解：(1)原式＝lg37×703－lg23－2lg3＋1＝lg10－lg3－12＝1－|lg3－1|＝lg3.(2)原式＝lg4－lg4＋lg15lg153－210×2－11＝－lg15lg153－2－1＝－32.[例2](1)(2013·烟台调研)函数y＝ln(1－x)的图象大致为()对数函数的图象及应用(2)(2012·新课标全国卷)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是()A.0，22B.22，1C．(1，2)D．(2，2)[自主解答](1)由1－x0，知x1，排除选项A、B；设t＝1－x(x1)，因为t＝1－x为减函数，而y＝lnt为增函数，所以y＝ln(1－x)为减函数，可排除D选C.(2)法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a1时不满足条件，当0a1时，画出两个函数在0，12上的图像，可知f12g12，则a22，所以a的取值范围为22，1.法二：∵0x≤12，∴14x≤2，∴logax4x1，∴0a1，排除选项C，D；取a＝12，x＝12，则有412＝2，log1212＝1，显然4xlogax不成立，排除选项A.[答案](1)C(2)B1．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．2．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．2．已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图像可能是()解析：由题意知，a＝1b，则g(x)＝－logbx＝log1bx＝logax，所以f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y＝x对称．答案：B[例3]已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．对数函数的性质及应用[自主解答](1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋30对任意x∈R恒成立．显然a＝0时不合题意，从而必有a0，Δ0，即a0，4－12a0，解得a13.即a的取值范围是13，＋∞.(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋30得－1x3，即函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3.则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．(3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有a0，3a－1a＝1，解得a＝12.故存在实数a＝12使f(x)的最小值为0.本例(1)中的条件“若f(x)的定义域为R”改为“若f(x)值域为R”，试求a的取值范围．解：当a＝0时，ax2＋2x＋3＝2x＋3，显然f(x)＝log4(2x＋3)值域为R；当a≠0时，必须真数ax2＋2x＋3能取到一切正数，则a0，Δ≥0.即a0，4－12a≥0⇒0a≤13.综上可知a的取值范围为0，13.研究复合函数y＝logaf(x)的单调性(最值)时，应先研究其定义域，分析复合的特点，结合函数u＝f(x)及y＝logau的单调性(最值)情况确定函数y＝logaf(x)的单调性(最值)(其中a0，且a≠1)．3．已知f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性．解：(1)由ax－10得ax1，当a1时，x0；当0a1时，x0.∴当a1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0a1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a1时，设0x1x2，则1ax1ax2，故0ax1－1ax2－1，∴loga(ax1－1)loga(ax2－1)．∴f(x1)f(x2)．故当a1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0a1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．[典例](2012·大纲全国卷)已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e12，则()A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x[常规解法]因为lnπ＞lne＝1，log52＜log55＝1，所以x＞y.故排除A、B；又因为log52＜log55＝12，e12＝1e＞12，所以z＞y.故排除C.[答案]D本题在比较三个数的大小时利用中间值，进行第一次比较时，中间值常选用的有0,1，由指数、对数式可知x1,0y1，0z1，再进一步比较y、z的大小，其中对数logaN的符号判定可简记为“同正异负”，即a与N同时大于1或同时大于0小于1，则logaN0；反之，logaN0.针对训练(2013·北京东城区综合练习)设a＝log123，b＝130.3，c＝lnπ，则()A．abcB．acbC．cabD．bac解析：a＝log123log121＝0,0b＝130.3130＝1，c＝lnπlne＝1，故abc.答案：A教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为()A．－4B．4C．－6D．6解析：由题知f(0)＝1＋m＝0，m＝－1.则x≥0时，f(x)＝3x－1，所以f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4.答案：A解题训练要高效见“课时跟踪检测（十一）”2．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.－∞，32B.32，＋∞C.－1，32D.32，4解析：函数f(x)的定义域为(－1,4)，又y＝4＋3x－x2的递减区间为32，＋∞，所以y＝f(x)的递减区间为32，4.答案：D3．已知函数f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则2a＋b的取值范围是()A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析：由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，当0ab，且f(a)＝f(b)时，只能0a1，b1，故f(a)＝|lga|＝－lga，f(b)＝|lgb|＝lgb．由f(a)＝f(b)，得－lga＝logb，即lg(ab)＝0，故ab＝1.则2a＋b≥22ab＝22，当且仅当2a＝b，即a＝22，b＝2时取等号．答案：B4．(2012·安徽名校模拟)函数y＝log2|x|x的大致图像是()解析：由于log2|－x|－x＝－log2|x|x