“鸡兔同笼”问题的研究综述

龙源期刊网“鸡兔同笼”问题的研究综述作者：张莉罗燕李昌勇来源：《中国校外教育(下旬)》2017年第03期摘要：鸡兔同笼问题是我国古代数学名题，同时也是多种数学思想与解题方法的载体，在小学教材和竞赛教学中都占有重要地位。在查阅有关文献的基础上，从鸡兔同笼的历史背景、教学研究、解法研究等几方面，对国内鸡兔同笼相关文献进行了梳理，期望为鸡兔同笼问题的相关研究提供参考。关键词：鸡兔同笼教学解法综述一、“鸡兔同笼”历史背景“鸡兔同笼”最初记载于公元3～4世纪的《孙子算经》，该书作者不详。其中将“鸡兔同笼”问题叙述为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”后又收录于明代程大位（1533年～1606年）所著《算法统宗》第八卷的“少广章”，问题叙述时把“雉”改为了“鸡”，由此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。古人对于鸡兔同笼的问题早已给出了解法。《孙子算经》中的解法可概括为：“上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得”。此方法即为“半足法”。《算法统宗》给出了两种不同于“半足法”的算法，一种算法为：“置总头倍之得七十，与总足内减七十余二四，折半得一十二是兔，以四足乘之得四十八足，总足减之余四十六足为鸡足，折半得二十三。”另一种算法是先求鸡的只数，与先求兔的只数程序基本相同。这个方法叫做“倍头法”。二、鸡兔同笼相关研究的分类统计根据CNKI检索结果，最早关于“鸡兔同笼”的文章写于1950年，本文就2008年至今的229篇文章进行分析，发现主要有教学类和解法类两大方面的研究。教学类文章大致有教学设计、课堂实录及思考这两类，解法类大致涵盖假设法、方程法、列表法、画图法和面积法，还有一些特殊的方法。据统计，教学设计的文章占25%，课堂实录及思考占45%，解法占30%，可见从2008年至今人们更关心“鸡兔同笼”教学问题。解法类文章中，关于假设法的占35%，方程法占24%，列表法占22%，画图法占13%，面积法占4%，其它方法占2%。可见假设法是人们研究最多的，也是解决“鸡兔同笼”的一般方法；方程法是链接小学与初中的桥梁，是代数思想的初步认识，因此方程思想还是受到了大家的重视；列表法和画图法是低年级学生解决鸡兔同笼时最直观的方法，符合低年级学生的认知水平，所以它们所占的比重也较大；其他方法研究的相对较少。三、鸡兔同笼教学研究综述（一）教几种方法龙源期刊网人教版的编写目的是希望学生掌握不同的解决问题方法，所以执教人教版“鸡兔同笼”的老师在教学中更多地选择两种及以上的方法。《把学生的潜能变成现实——一节“鸡兔同笼”课的思考》中，李玲玲认为学生已经接触过“鸡兔同笼”问题，故可以把教材上的三种列表法直接呈现成学生，重点让学生来观察三种列表法特点，学生基本能用自己语言描述，李玲玲再进行小结并板书这三种列表法：逐一列表法、跳跃列表法、取中列表法，再让学生尝试其他方法，如假设法、列方程、画图法，由老师引导全班体会和学习这些方法。可以看出李玲玲是在一定程度上将这节课作为了活动课，将学生置于“已会”的状态，注重学生探索，在活动中让学生体会了多种方法并感受参与课堂的愉悦感，不过这种教学更适合基础较好的班级。《让数学课堂充满生命成长的智慧—“鸡兔同笼”教学实录与评析》中何仲秋先是设计了一个小活动让学生感受“猜测—验证—调整”；接着抛出“鸡兔同笼”问题并引导学生猜测列表，围绕“怎么猜”“怎么验证”“猜错了又怎么办”来探讨“猜”；学生独立完成表格并分享思路；接下来，何仲秋引入假设法，假设所有兔子都站起来，分析这时腿的数目变化，发现兔子站起来就相当于都看成鸡了，提出假设思想并请学生计算；此外，何仲秋还设计了方程法。作为小学高年段的课堂教学，大部分老师都是选择列表、假设、方程等几种方法给学生呈现，而在教学安排上又讲究了几种方法的先后顺序，强调了解法之间的关联。（二）教一种方法邱良洪在《“鸡兔同笼”教学设计（一）—尝试与猜测》中给出了专门讲授列表法的教学设计。课上老师给出问题背景，让学生经历猜测、尝试和不断调整的过程，在解决鸡兔同笼问题的过程中经历逐一列表、取中列表和跳跃式列表，对比三种方法的优缺点，使学生获得用列表解决一般问题的能力，感悟枚举的数学思想。陆潮江在《自主选择，自主体会——列方程解“鸡兔同笼”问题教学实录》中设计着重讲授方程法的教学。老师首先让学生用已学的方法解决最常见的“头和脚和”型鸡兔同笼问题，再引入用方程法解鸡兔同笼，突出方程的思想。之后依次呈现出“头和脚差”“头差脚差”型鸡兔同笼问题，促使学生自觉选择方程法，感受方程法的优越性，重点让学生获得用方程法解决问题的能力。潘声荣在《从“鸡兔同笼”问题谈假设策略的教学》着重讲授假设策略。老师首先让学生通过画图、列表解决数量简化后的“鸡兔同笼”问题，初步体会用假设分析数量关系的过程，再让学生利用假设法解决“鸡兔同笼”原题，之后通过反思提炼得到假设策略。只讲授一种方法有利于老师对某一方法进行有深度的教学思考，学生深入地学习这类方法蕴含的数学思想，避免了方法多却不精的情况，至于选择哪种方法就需要老师针对学情适当选择，但是几乎没有只讲画图和面积法的专题课程。龙源期刊网四、“鸡兔同笼”解法研究综述（一）假设法假设思想方法是通过对数学问题的一些数据做适当的改变，然后根据题目的数量关系进行计算和推理，再根据计算所得数据与原数据的差异进行修正和还原，最后使原问题得到解决的思想方法。解决鸡兔同笼问题可从不同角度假设。沈婷在《谈小学数学思维能力培养——以“鸡兔同笼”问题为例》中写到极端假设法：假设全是鸡（兔）。假设全是鸡，35只鸡共70只脚，但实际是94只，假设比实际少24只脚，少在将4只脚的兔看成2只脚的鸡，每只兔少2只脚，所以兔共只，鸡35-12=23只。假设全是兔，思路是一样的。在林革的《“鸡兔同笼”问题解答集锦和评析》中谈到我国科学院院士张景中教授给出的一种解法，称其为公平设计法：兔有4只脚，鸡只有2只脚不公平，所以我们就将鸡的两个翅膀也看作脚，那么总共有35×4=140只脚，如果不把翅膀当作脚，那么脚94只，所以多出的140-94=46只脚为鸡的一对翅膀，所以鸡有46÷2=23只，兔有12只。北京大学附中特级教师周沛耕提出了“抬脚法”：假设把鸡和兔都抬起两只脚，则只有兔子还有两只脚在地上，地上总共剩下94-35×2=24只兔子脚，故兔共12只，鸡35-12=23只。美国著名数学教育家G·波利亚十分推崇《孙子算经》中的“半足法”，并称之为“金鸡独立法”，这种方法也可称为“折半法”。沈婷还写到“增头法”，这其实就是《算法统宗》里的“倍头法”。假设法有利于发展学生的逻辑推理能力，渗透化归的思想。上述几种方法虽然解决问题的角度不同，但都是立足于假设思想上，这为我们用假设思想解决问题提供了不同的思考方向。（二）方程法不少文章中均提到了用一元一次方程解鸡兔同笼，设鸡x只，兔（35-x）只，由数量关系可列方程：2x+4（35-x）=94，解得x=23，即鸡23只，兔35-23=12只。也可设兔x只，过程类似。二元一次方程组，设鸡x只，兔y只，列方程组：解得x=23，y=12。方程法体现的是代数思想，需要一定的抽象思维和用符号代替数的能力，故方程法比较适合高年级学生。（三）列表法龙源期刊网北师大五年级数学教材呈现了三种列表法。第一种是逐一列举，将鸡的只数从1开始依次列出，再计算出相应的兔的只数以及总的脚数，找到正确答案为止；第二种跳跃列举，跳跃计算鸡兔的数量，逐步逼近鸡兔数量的可能性范围，以减少列举的次数；第三种取中列举，鸡兔共35只，取最中间的数开始列举，观察列举的脚数与实际的脚数的差值，判断正确值从中间值的左边还是右边，再在选择的一面继续取中列举，这样大大缩减了列举的范围。方爱斌也提到了利用特殊值进行合理推理，逐步逼近正确值，提出了取中猜测和跳跃式猜测。常规的逐一列举法利于低年级的学生理解，锻炼了学生的估算和推理能力，培养了学生用列表法解决问题的策略。跳跃列举、取中列举是优化后的列表法，培养了学生对特殊数据的敏感性，渗透了极限逼近思想。（四）面积法李树清在《“鸡兔同笼”问题的解法探讨》中提出把“鸡兔同笼”变为一道几何题来做，如图1所示，AB=35表示共35个头，BC=2表示鸡2只脚，AF=4表示兔4只脚，表示鸡兔共94只脚，求AH和HB，即兔、鸡各有多少只。此法巧妙地将“脚总数=鸡头数×2+兔头数×4”转化为“长方形面积=长×宽”。延长CD交AF于G，可得到，则，所以兔头数，得兔有12只，故鸡有23只。杨通的《数形结合解决“鸡兔同笼”问题》和林革的《“鸡兔同笼”问题解答集锦及评析》也提到了面积法，思路与李树清一致。周春荔在《“鸡兔同笼”问题的两个新解法》一文中提出两个图解新法，解法一过程如下：设鸡只，共只脚，兔只，共只脚，则列得方程组：，得即平均每头动物只脚。由此可作图2，AB表示35个头，BC表示鸡头数，BF表示2只脚，AC表示兔头数，AE表示4只脚，AP即平均每头动物只脚。从图2可以看出，表示共有94只脚，由此得到，式子表示：，解得，故，。解法二则将问题转化为和差问题，设鸡只，兔只，如图3，表示鸡脚，表示兔脚，根据图形面积关系可列方程：，解得结合解得，。李树清所说的面积法，实质是将算术问题几何化，充分体现了数形结合和构造的思想。周春荔所提的新解法也是基于将算术问题几何化的想法，但是先是对问题进行转化处理并且对几何图形的构造也进一步扩展。面积法是一种具有挑战性的方法，需要较强的几何思维，所以目前对面积法的研究并不多。（五）画图法在低年级教学中，不少老师选择画图法给学生直观讲解。所谓画图法即画一个○表示头，线段表示脚，画出35个○，在每个○下画两只脚，共70只脚比94少，所以需要添脚，而一只兔比一只鸡多两只脚，所以每次给一个○加两只脚变成兔，发现给12个○添脚刚好满足，故兔龙源期刊网只，鸡23只。也可先全画成兔，再去掉多的脚。画图法的实质是假设，只是比纯假设列式增加了形象的示意图。此外，还有一些特殊解法，例如画线段图法、比例分配法、差量作比法、代数消元法，纪祥在《“鸡兔同笼题，千年没变过”说开去》中甚至主张将鸡兔的数量关系与向量矩阵的知识联系起来，可见“鸡兔同笼”的解法越来越丰富。五、小结与研究展望“鸡兔同笼”问题可以体现化归、方程、建模、数形结合等数学思想，是培养学生思维能力的重要载体，具有很大的教学价值，它有利于培养学生一题多解和建立模型的思维习惯。分析发现“鸡兔同笼”解法和教学的研究已十分丰富，但它具有的数学价值却不仅仅止于解决“鸡兔同笼”本身或者传达一两种数学思想方法，在数学核心素养影响下，笔者认为有待研究的问题是：如何对“鸡兔同笼”再设计，才能实现发现学生的数学核心素养的目的！参考文献：[1]方爱斌.发现特殊值，渗透极限思想——谈《鸡兔同笼》中尝试列表法的优化策略[J].数学大世界，2010，（05）.[2]王琰玲.巧用假设思想方法解决问题例谈[J].中国校外教育，2014，（05）.[3]朱云.鸡兔同笼问题三种常见解法的特点及其在教学过程中的意义[J].职校论坛，2012，（15）.[4]刘东旭.数学模型思想的渗透——以“鸡兔同笼”问题教学为例[J].教学月刊，2015，（04）.[5]邱良洪.“鸡兔同笼”教学设计（一）——尝试与猜测[J].小学教学设计，2013，（10）.[6]陆潮江.自主选择，自主体会——列方程解“鸡兔同笼”问题教学实录[J].小学教学，2009，（12）.[7]潘声荣.从“鸡兔同笼”问题谈假设策略的教学[J].科教文汇，2011，（10）.[8]沈婷.谈小学数学思维能力培养——以“鸡兔同笼”问题为例[J].考试周刊，2015，（27）.[9]林革.“鸡兔同笼”问题解答集锦及评析[J].中小学数学，2010，（06）.[10]王伟.众里寻它千