必修①第一章 集合与函数概念(教师版)

高一进高二飞腾学校辅导资1第1讲§1.1.1集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为123{,,,,}naaaa，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()xAPx}，既要关注代表元素x，也要把握其属性()Px，适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母,,,ABC表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集*N或N，整数集Z，有理数集Q，实数集R.4.元素与集合之间的关系是属于（belongto）与不属于（notbelongto），分别用符号、表示，例如3N，2N.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0xxx的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}xRxxx；用列举法表示为{0,1,3}.（2）用描述法表示为：{|27}xZx；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}AxxkkZ，{|61,}BxxmmZ，则有：17A；－5A；17B.解：由3217k，解得5kZ，所以17A；由325k，解得73kZ，所以5A；由6117m，解得3mZ，所以17B.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P6练习题2，P13A组题4）（1）一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24yx的函数值组成的集合；（3）反比例函数2yx的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26yxxyyx.（2）2{|4}{|4}yyxyy.（3）2{|}{|0}xyxxx.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2xaAax有唯一实数解，试用列举法表示集合A．解：化方程212xax为：2(2)0xxa．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是2：由△=0，得94a，此时的解为12x，合．⑵方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解12x，合．⑶方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解为21x，合．综上可知，9{,2,2}4A．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.高一进高二飞腾学校辅导资料2第1练§1.1.1集合的含义与表示※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）.A.中国古代四大发明B.地球上的小河流C.方程210x的实数解D.周长为10cm的三角形2．方程组23211xyxy的解集是（）.A.51，B.15，C.51，D.15，3．给出下列关系：①12R；②2Q；③*3N；④0Z.其中正确的个数是（）.A.1B.2C.3D.44．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3）方程2(1)(2)0xx的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45}xx是有限集.其中正确的说法是（）.A.只有（1）和（4）B.只有（2）和（3）C.只有（2）D.以上四种说法都不对5．下列各组中的两个集合M和N,表示同一集合的是（）.A.{}M,{3.14159}NB.{2,3}M,{(2,3)}NC.{|11,}MxxxN,{1}ND.{1,3,}M,{,1,|3|}N6．已知实数2a，集合{|13}Bxx，则a与B的关系是.7．已知xR，则集合2{3,,2}xxx中元素x所应满足的条件为.※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数223yxx的函数值组成的集合；（2）函数232yx的自变量的值组成的集合.9．已知集合4{|}3AxNZx，试用列举法表示集合A.※探究创新10．给出下列集合：①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠-3}；②12(,)13xxxyyy且③12(,)13xxxyyy或；④{(x，y)|[(x-1)2+(y-1)2]·[(x-2)2+(y+3)2]≠0}．其中不能表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有.第1练§1.1.1集合的含义与表示【第1练】1～5BCCCD6.aB7.0,1,3x8.（1）{|2}yy；（2）{|2}xx9.{1,2,4,5,7}提示：分31,2,4x等情况.10.④提示：集合①与②是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合③表示整个坐标平面；集合④不能表示点（1，1）、（2，-3），集合④能表示所指定的集合．高一进高二飞腾学校辅导资3ABBAABABA．B．C．D．第2讲§1.1.2集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.¤知识要点：1.一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作AB（或BA），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2.如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作AB.3.如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集（propersubset），记作AB（或BA）.4.不含任何元素的集合叫作空集（emptyset），记作，并规定空集是任何集合的子集.5.性质：AA；若AB，BC，则AC；若ABA，则AB；若ABA，则BA.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形}{平行四边形}；{等腰三角形}{等边三角形}.（2）2{|20}xRx；0{0}；{0}；N{0}.解：（1），；（2）=，∈，，.【例2】设集合1,,}22{|,{|nnxnnAxxBxZ}Z，则下列图形能表示A与B关系的是（）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A，3113{,,,,,}2222B，易知BA，故答案选A．另解：由21,}2{|nxnBxZ，易知BA，故答案选A．【例3】若集合2|60,|10MxxxNxax，且NM，求实数a的值.解：由26023xxx或，因此，2,3M.（i）若0a时，得N，此时，NM；（ii）若0a时，得1{}Na.若NM,满足1123aa或，解得1123aa或.故所求实数a的值为0或12或13.点评：在考察“AB”这一关系时，不要忘记“”，因为A时存在AB.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}.若A=B，求实数x的值.解：若22abaxabaxa+ax2-2ax=0,所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.当a=0时，集合B中的元素均为0，故舍去；当x=1时，集合B中的元素均相同，故舍去.若22abaxabax2ax2-ax-a=0.因为a≠0，所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2x+1)=0.又x≠1，所以只有12x.经检验，此时A=B成立.综上所述12x.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.高一进高二飞腾学校辅导资料4第2练§1.1.2集合间的基本关系※基础达标1．已知集合3,,6,AxxkkZBxxkkZ,则A与B之间最适合的关系是（）.A.ABB.ABC.ABD.AB2．设集合|12Mxx，|0Nxxk，若MN，则k的取值范围是（）.A．2kB．1kC．1kD．2k3．若2{,0,1}{,,0}aab，则20072007ab的值为（）.A.0B.1C.1D.24．已知集合M={x|x=2k+14,k∈Z},N={x|x=4k+12,k∈Z}.若x0∈M，则x0与N的关系是（）.A.x0∈NB.x0NC.x0∈N或x0ND.不能确定5．已知集合P={x|x2=1}，集合Q={x|ax=1}，若QP，那么a的值是（）.A.1B.－1C.1或－1D.0，1或－16．已知集合,,,Aabc，则集合A的真子集的个数是.7．当2{1,,}{0,,}baaaba时，a=_________，b=_________.※能力提高8．已知A={2,3}，M={2,5,235aa}，N={1,3,2610aa}，AM，且AN，求实数a的值.9．已知集合25Axx，121Bxmxm.若BA，求实数m的取值范围.※探究创新10．集合S={0，1，2，3，4，5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x-1A且x+1A，则称x为A的一个“孤立元素”，写出S中所有无“孤立元素”的4元子集.第2练§1.1.2集合间的基本关系【第2练】1～5DDAAD6.7个7.－1，08.2a.提示：联合2352aa及26102aa求解.9.3m（注意区间端点及B=）10.解：依题意可知，“孤立元素x”是没有与x相邻的，非“孤立元素x”是指在集合中有与x相邻的元素．因此所求问题的集合可分成如下两类：（1）4个元素连续的，有3个：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}；（2）4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}．高一进高二飞腾学校辅导资5第3讲§1.1.3集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集交集补集概念由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（unionset）由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集（intersectionset）对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集（complementaryset）记号AB（读作“A并B”）AB（读作“A交B”）UAð（读作“A的补集”）符号{|,}ABxxAxB或{|,}ABxxAxB且{|,}UAxxUxA且ð图形表示¤例