高考全国卷2008-2017数学科概率与统计大题试题评析

高考全国卷2008-2017数学科概率与统计大题试题评析试题解析：设事件A为“方程2220xaxb有实根”．当0a，0b时，方程2220xaxb有实根的充要条件为ab.对于问题（Ⅰ），基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为93()124PA．对于问题（Ⅱ），试验的全部结果所构成的区域为(,)|03,02abab，构成事件A的区域为(,)|03,02,ababab，所以所求的概率为2132222()323PA．试题评析：本题以方程的根为载体，以概率学中古典概型与几何概型的知识为基础，立意新颖，构思精巧，考查平实．考查古典概型及几何概型的应用，考查一元二次方程根的简单应用，属于基础题．利用古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性；在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形随机数产生的原理方法，解决问题．主要考查学生的函数与方程思想、有限与无限思想、转化与化归思想，考查学生的运算能力、抽象能力、抽取运用数据处理能力．本题主要是直接运用数据解决给定的实际问题，因此此题是一个水平1的概率学问题．本题考查学生基于方程的理解，提升解决现实问题的能力．利用一元二次方程的根的条件、古典概型及几何概型的思想进行解题，想法精妙而解答扼要．利用方程的实根条件衬托古典概型及几何概型的随机现象和解决问题的过程，体会其中的随机思想．在交流的过程中，用统计的大小来描述日常生活中的随机现象．该题主要考查学生的数据分析（水平1）、数学抽象（水平1）、数学运算（水平1）核心素养．题3-2-2（08课标•理19）A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量1X和2X，根据市场分析，1X和2X的分布列分别为（Ⅰ）在A，B两个项目上各投资100万元，1Y和2Y分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差1DY，2DY；（Ⅱ）将(0100)xx≤≤万元投资A项目，100x万元投资B项目，()fx表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求()fx的最小值，并指出x为何值时，()fx取到最小值．（注：2()DaXbaDX）试题解析：对于（Ⅰ）中，由题意可知，由于1Y和2Y分别表示投资项目A和B所获得的利润，而A和B两个投资项目的利润率分别为1X和2X，因此可得1Y和2Y的分布列，再根据分布列可分别得150.8100.26EY，221(56)0.8(106)0.24DY，220.280.5120.38EY，2222(28)0.2(88)0.5(128)0.312DY．对于（Ⅱ）中，根据题意可得，()fx表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和，含x的的解析式12100()100100xxfxDYDY22243(100)100xx2224(46003100)100xx2212100100100xxDYDY，因此，当6007524x时，()3fx为最小值．试题评析：本题是以概率与统计中用样本估计总体的知识为基础，考查离散型随机变量的分布列和期望；是以统计知识为衬托考查二次函数最值的应用，立意新颖，构思精巧，属于中等题，考查平实．利用数学期望及方差公式，求出相应的数据，再通过求二次函数的最值方法，解出相应的投资数值，解决问题．虽然涉及分段函数，但主要考查随机变量的分布列、期望与方差的计算以及其实际意义的应用，考查学生的函数与方程思想、转化与化归思想，考查学生的运算能力、逻辑推理能力、抽取应用数据处理能力．本题主要是从收集的众多数据中利用一定的方式查找相关数据，再运用数据解决给定的实际问题，是一道水平1-2的数据分析核心素养考查试题．本题考查学生基于统计知识的理解，提升解决现实问题的能力．利用函数的思想进行解题，想法精妙而解答扼要．结合统计中数学期望与方差的公式，可求得相应的数值，解决问题；利用二次函数的最值衬托统计的随机现象和解决问题的过程，体会其中的函数思想．在生活情境中，识别随机现象，懂得随机现象与随机变量之间的关联，发现并提出统计问题，在交流的过程中，用统计的大小来描述日常生活中的随机现象．该题主要考查学生的数据分析（水平1-2）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）核心素养．题3-2-3（16课标Ⅰ•文19）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如下面柱状图：记x表示1台机器三年内共需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购买机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若=19n，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需要更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？试题解析：对于问题（Ⅰ），由题意可得，当=19n时，y与x的函数解析式为：19200,193800,1919200(19)500,195005700,19xxyxxxx，对于问题（Ⅱ），由柱状图可知，6(16)0.06100Px，16(17)0.16100Px，24(18)0.24100Px，24(19)0.24100Px，因此“需要更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5的19n，所以n的最小值为19件；对于问题（Ⅲ），这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所需费用的平均数：1(7019200430020104800)4000100（元），每台都购买20个易损零件，所需费用的平均数为：1(904000104500)4050100（元），由于40004050，因此购买1台机器的同时应购买19个易损零件．试题评析：本题是以统计学中随机变量的分布的知识为基础，背景朴实，构思精巧，考查平实．考查函数模型的选择与应用、函数的最值及几何意义、频率分布直方图，利用柱形图的数据求出各组的频率，结合条件要求，解决问题．考查考生分析问题、解决问题的能力，属于中等题．主要考查学生的函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想，考查学生的运算能力、抽象能力、直观想象能力、抽取运用数据能力．本题主要是运用文字、图表、公式等对数据进行转化、解释，并对数据进行组织、分类、比较和加工，再通过直接运用数据解决给定的实际问题，是一道水平1-2的数据分析核心素养考查试题．本题考查学生基于统计知识的理解，提升解决现实问题的能力．利用数形结合的思想进行解题，想法精妙而解答扼要．结合函数的性质及其应用，可求得相应的数值，解决问题；利用图形及函数的性质的关系衬托统计概率的随机现象和解决问题的过程，体会其中的随机思想．在生活情境中，识别随机现象，懂得随机现象与随机变量之间的关联，发现并提出统计问题，在交流的过程中，用统计概率的大小来描述日常生活中的随机现象．主要考查学生的数据分析（水平1-2）、数学抽象（水平1）、数学运算（水平1）、直观想象（水平1）核心素养．类似题型：2012年理科第18题与文科第18题，根据函数的关系式可列出分段函数解析式，充分体现了函数与方程思想，再根据记录100天玫瑰花的需求量表格进行求解；2013年理科第19题与文科第19题的第一问，利用已知条件列出分段函数解析式，解决问题，体现出函数与方程思想的重要性．3.2.2数据分析中的整体思想数学中的整体思想是把问题中的某一部分当作一个整体进行处理，可以获得简洁的解法．从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形、捆绑法等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．统计与概率专题一般在求值过程中体现整体思想．题3-2-4（12课标•理15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．试题解析：由题意可知，三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p，超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4Pp，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138ppp．故答案：38．试题评析：本题以物理中元件串、并联为载体，以统计学中正态分布的知识为基础，表征新颖而内蕴丰富，考查平实．考查正态分布的求解等基础知识，蕴含着对正态分布的公式使用，主要考查学生的整体思想、转化与化归思想，考查学生的运算能力、逻辑推理能力、直观能力、抽取运用数据处理能力．本题直接运用数据解决给定的实际问题，是一道水平1数据分析核心素养考查试题．本题考查学生基于物理应用的理解，提升解决现实问题的能力．结合统计中服从正态分布的计算公式，解决问题；依托于图式连接的方式，体现数学学科与物理学科知识之间的相互交叉，让学生体悟各学科之间知识点交汇的形式及其在现实生活中的应用．利用统计简单表达的随机现象和解决问题的过程，体会其中的内在思想．在交流的过程中，用统计的大小来描述日常生活中的随机现象．主要考查学生的数据分析（水平1）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）、直观想象（水平1）核心素养．题3-2-5（14课标Ⅰ•文13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．试题解析：由题意可知，本题由两种解法，第一种解法（列举法）：设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有：(,,)ABC，(,,)ACB，(,,)BCA，(,,)BAC，(,,)CAB，(,,)CBA共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种，所以所求概率为4263P；第二种解法（捆绑法）：将2本数学捆绑为一体，有2224A中排法，三本书全排列有336A，再根据古典概型的计算公式可得，所求概率为4263P．故答案：23．试题评析：本题以古典概型的知识为基础，利用列举法或捆绑法，得出排列的情况，再根据古典概型的计算公式，求出要求的概率．主要考查学生的分类与整合思想、转化与化归思想、或然与必然思想；考查学生的运算能力、逻辑推理能力、抽取运用数据处理能力．本题主要是直接运用数据解决给定的实际问题，是一道水平1的数据分析核心素养考查试题．本题考查学生基于排列组合思考的理解，提升解决现实问题的能力.结合统计学中捆绑法：把相邻的若干特殊元素“捆绑”成一个“大元素”，然