数学分析12.3一般项级数

第十二章数项级数2一般项级数一、交错级数概念：若级数各项符号正负相间，即u1-u2+u3-u4+…+(-1)n+1un+…(un0,n=1,2,…)，则称它为交错级数.定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数1nn1nu(-1)满足：(1)数列{un}单调递减；(2)∞nlimun=0，则该级数收敛.证：交错级数的部分和数列{Sn}的奇数项和偶数项分别为：S2m-1=u1-(u2-u3)-…-(u2m-2-u2m-1)，S2m=(u1-u2)+(u3-u4)…+(u2m-1-u2m).由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而数列{S2m-1}递减，数列{S2m}递增.又由条件(2)知0S2m-1-S2m=u2m→0(m→∞)，从而{[S2m,S2m-1]}形成一个区间套，由区间套定理，存在唯一的一个数S，使得∞mlimS2m-1=∞mlimS2m=S.∴数列{Sn}收敛，即该交错级数收敛.推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|Rn|≤un+1.二、绝对收敛级数及其性质概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u1|+|u2|+…+|un|+…收敛，则称它为绝对收敛级数.若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.证：若级数|u1|+|u2|+…+|un|+…收敛，由柯西收敛准则知，对任意ε0，总存在正数N，使得对nN和任意正整数r，有|un+1|+|un+2|+…+|un+r|ε，∴|un+1+un+2+…+un+r|ε，∴u1+u2+…+un+…收敛.得证！例1：证明：级数!nan收敛.证：∵n1n∞nuulim=1nalim∞n=01,∴原级数绝对收敛.性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射f:n→k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{un}按映射F:un→uk(n)所得到的数列{uk(n)}称原数列的重排；同样的，级数1nk(n)u也是级数1nnu的重排.记vn=uk(n)，即1nk(n)u=v1+v2+…+vn+….定理12.13：若级数nu绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数nv也绝对收敛，且有相同的和数.证：不妨设nu为正项级数，用Sn表示它的第n个部分和，记Tm=v1+v2+…+vm表示级数nv的第m个部分和.∵级数nv是nu的重排，∴对每一个vk都等于某一kiu(1≤k≤m).记n=max{i1,i2,…im},则对任何m，都存在n，使Tm≤Sn.由∞nlimSn=S知，对任何正整数m有Tm≤S,即nv收敛，其和T≤S.又级数nu也是nv的重排，∴S≤T，推得T=S.若nu为一般级数且绝对收敛，即正项级数nu收敛，同理可推得级数nv收敛，∴级数nv收敛.令pn=2uunn，qn=2uunn；则当un≥0时，pn=un，qn=un；当un0时，pn=0，qn=-un≥0.从而有0≤pn≤|un|，0≤qn≤|un|，pn+qn=|un|，pn-qn=un.又nu收敛，∴np,nq都是正项的收敛级数，且S=nu=np-nq.同理得：nv=np-nq，其中np,nq分别是np,nq的重排.∴nv=np-nq=np-nq=S.得证!性质2：级数的乘积：由anu=nau可推得有限项和与级数的乘积：(a1+a2+…+am)1nnu=1nnm1kkua.继而可推广到无穷级数之间的乘积：设收敛级数nu=A,nv=B.将两个级数中每一项所有可能的乘积列表如下：u1v1u1v2u1v3…u1vn…u2v1u2v2u2v3…u2vn…u3v1u3v2u3v3…u3vn…………………unv1unv2unv3…unvn…………………这些乘积uivj按各种方法排成不同的级数，如按正方形顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v2+u2v1+u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1+…，如下表：↓←u1v1↓u1v2↓u1v3…↓u1vn…←u2v1↓←u2v2↓u2v3…↓u2vn…←u3v1←u3v2↓←u3v3…↓u3vn……………↓……←unv1←unv2←unv3←…↓←unvn…………………或按对角线顺序相加，得u1v1+u1v2+u2v1+u1v3+u2v2+u3v1+…，如下表：u1v1u1v2u1v3…u1vn…u2v1u2v2u2v3…u2vn…u3v1u3v2……u3vn…………………unv1unv2unv3…unvn…………………定理12.14：(柯西定理)设绝对收敛级数nu=A,nv=B，则由它们中每一项所有可能的乘积uivj按任意顺序排列所得到的级数nw绝对收敛，且其和等于AB.证：设级数nw,nu,nv的部分和分别为：Sn=|w1|+|w2|+…+|wn|,Am=|u1|+|u2|+…+|um|,Bm=|v1|+|v2|+…+|vm|.其中wk=kkjivu(k=1,2,…,n)，m=max{i1,j1,i2,j2,…,in,jn}，则必有Sn≤AmBm.∵绝对收敛级数nu与nv的部分和数列{Am}和{Bm}都有界，∴{Sn}有界，从而级数nw绝对收敛.利用绝对收敛级数的可重排性，将绝对收敛级数nw按正方形顺序重排如下：u1v1+(u1v2+u2v2+u2v1)+(u1v3+u2v3+u3v3+u3v2+u3v1)+…，把每一括号作一项，得新级数：p1+p2+p3+…+pm+…收敛，且与nw和数相同，其部分和Pm=AmBm.即有∞mlimPm=∞mlimAmBm=∞mlimAm∞mlimBm=AB.得证！例2：证明：级数1+2r+…+(n+1)rn+…(|r|1)绝对收敛，并求其和.证：等比级数0nnr=1+r+r2+…+rn+…=r-11(|r|1)，绝对收敛.将(0nnr)2的所有可能的项按对角线顺序相加得：1+(r+r)+(r2+r2+r2)+…+(rn+…+rn)+…(括号内共有n+1个rn)=1+2r+…+(n+1)rn+…=2r)-(11.∴所求级数绝对收敛，其和为2r)-(11.二、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法引理：(分部求和公式，也称阿贝尔变换)设εi,vi(i=1,2,…,n)为两组实数，若令Tk=v1+v2+…+vk(k=1,2,…,n)，则有如下分部求和公式成立：n1iiivε=(ε1-ε2)T1+(ε2-ε3)T2+…+(εn-1-εn)Tn-1+εnTn.证：以v1=T1,vk=(Tk-Tk-1)(k=2,3,…,n)分别乘以εk(k=1,2,…,n)，则n1iiivε=ε1v1+ε2v2+…+εnvn=ε1T1+ε2(T2-T1)+…+εn(Tn-Tn-1)=(ε1-ε2)T1+(ε2-ε3)T2+…+(εn-1-εn)Tn-1+εnTn.推论：(阿贝尔引理)若(1)ε1,ε2,…,εn是单调数组；(2)对任一正整数k(1≤k≤n)有|Tk|=|v1+v2+…+vk|≤A，记ε=kmax{|εk|},有n1kkkvε≤3εA.证：由(1)知ε1-ε2,ε2-ε3,…,εn-1-εn同号，于是由分部求和公式及(2)有n1kkkvε=|(ε1-ε2)T1+(ε2-ε3)T2+…+(εn-1-εn)Tn-1+εnTn|≤A|(ε1-ε2)+(ε2-ε3)+…+(εn-1-εn)|+A|εn|=A|(ε1-εn)|+A|εn|≤A(|ε1|+2|εn|)≤3εA.定理12.15：(阿贝尔判别法)若{an}为单调有界数列，且级数nb收敛,则级数nnba=a1b1+a2b2+…+anbn+…收敛.证：由级数nb收敛，依柯西准则，对任给正数ε,存在正数N,使当nN时，对一切正整数p，都有pn1nkkbε.又数列{an}单调有界，∴存在正数M，使|an|≤M，根据阿贝尔引理有pn1nkkkba≤3εM.∴级数nnba收敛.注：由阿贝尔判别法知，若级数nu收敛，则下述两个级数：(1)pnnu(p0)；(2)1nun都收敛.定理12.16：(狄利克雷判别法)若数列{an}单调递减，且∞nliman=0，又且级数nb的部分和数列有界，则级数nnba收敛.例3：证明：若数列{an}单调递减，且∞nliman=0，则级数sinnxan和cosnxan对任何x∈(0,2π)都收敛.证：2sin2x(21+n1kcoskx)=sin2x+2sin2xcosx+2sin2xcos2x+…+2sin2xcosnx=sin2x+(sin23x-sin2x)+…+[sin(n+21)x-sin(n-21)x]=sin(n+21)x.当x∈(0,2π)时，sin2x≠0,cot2x≠+∞.∴n1kcoskx=2x2sinx21nsin-21=21sinnxcot2x+2cosnx-21.又-21cot2x-1≤21sinnxcot2x+2cosnx-21≤21cot2x，即当x∈(0,2π)时，cosnx的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数cosnxan收敛.2sin2x(n1ksinkx-21cot2x)=2sin2xsinx+2sin2xsin2x+…+2sin2xsinnx-cos2x=(cos2x-cos23x)+…+[cos(n-21)x-cos(n+21)x]-cos2x=-cos(n+21)x.当x∈(0,2π)时，sin2x≠0,cot2x≠+∞.∴n1ksinkx=21cot2x-2x2sinx21ncos=2x2sinx21ncos-2xcos.又-csc2x=2xsin1≤2x2sinx21ncos-2xcos≤2xsin1=csc2x，即当x∈(0,2π)时，sinnx的部分和数列有界，由狄利克雷判别法知级数sinnxan收敛.注：作为例3的特例，级数nsinnx和ncosnx对一切x∈(0,2π)都收敛.习题1、下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：(1)!nsinnx；(2)1nn)1(n；(3)n1pnn(-1)；(4)n2sin)1(n；(5)n1n(-1)n；(6)1n1)ln(n(-1)n；(7)nn13n1002n)1(；(8)nnx!n.解：(1)∵!nsinnx2n1(n4)；又级数2n1收敛，∴原级数绝对收敛.(2)∵1nn)1(limn∞n=1≠0；∴原级数发散.(3)∵当p≤0时，n1pn∞nn(-1)lim≠0；∴原级数发散；当p1时，n1pnn(-1)≤pn1；又级数pn1(p1)收敛，∴原级数绝对收敛.当0p≤1时，令un=n1pn1，则n1nuu=1n1pn1p1)(nn=1n1pn1)1n(n11n1n1pn1nn11n=p1)n(n1n11n，∵np∞nn11lim=ep1,1n1∞nnlim=1，∴当n充分大时，npn111n1n，即pn111)n(n1n，从而n1nuu1，即un+1un，∴{un}在n充分大后单调减.又∞nlimun=n1p∞nn1lim=0(0p≤1)，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(4)∵n2n2sin)1(limn∞n=1,且级数n2发散，∴原级数不绝对收敛.又{n2sin}单调减，且n2sinlim∞n=0，由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛.(5)∵级数n(-1)n收敛，而级数n1发散，∴原级数发散.(6)∵1n1)ln(n(-1)n