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《数学分析》教案-1-第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法，记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。教学时数：18学时§1级数的收敛性一．概念：1．级数：级数，无穷级数;通项(一般项,第项),前项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为.2.级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时,.级数收敛;时,级数发散;《数学分析》教案-2-时,,,级数发散;时,,,级数发散.综上,几何级数当且仅当时收敛,且和为(注意从0开始).例2讨论级数的敛散性.解（利用拆项求和的方法）例3讨论级数的敛散性.解设,,=,.,.因此,该级数收敛.例4讨论级数的敛散性.《数学分析》教案-3-解,.级数发散.3.级数与数列的关系:对应部分和数列{},收敛{}收敛;对每个数列{},对应级数,对该级数,有=.于是,数列{}收敛级数收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系:,其中.无穷积分可化为级数;对每个级数,定义函数,易见有=.即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)收敛和N,.《数学分析》教案-4-由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前项的级数表为或.系(级数收敛的必要条件)收敛.例5证明：级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令,则当时有应用Cauchy准则时，应设法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.例6判断级数的敛散性.(验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7(但级数发散的例)证明调和级数发散.证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1收敛，—Const收敛且有=《数学分析》教案-5-性质2和收敛，收敛,且有=.性质3若级数收敛,则任意加括号后所得级数也收敛,且和不变.§2正项级数一.正项级数判敛的一般原则:1.正项级数:↗;任意加括号不影响敛散性.2.基本定理:Th1设.则级数收敛.且当发散时,有,.(证)3.正项级数判敛的比较原则:Th2设和是两个正项级数,且时有,则ⅰ收敛,收敛;ⅱ发散,发散.(ⅱ是ⅰ的逆否命题)例1考查级数的敛散性.解有《数学分析》教案-6-例2设.判断级数的敛散性.推论1(比较原则的极限形式)设和是两个正项级数且,则ⅰ时,和共敛散;ⅱ时,收敛,收敛;ⅲ时,发散,发散.(证)二.正项级数判敛法:1．检比法：亦称为D’alembert判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓检比法.Th3设为正项级数,且及时ⅰ若,收敛;ⅱ若,发散.证ⅰ不妨设时就有成立,有依次相乘,,即.由,得收敛,收敛.《数学分析》教案-7-ⅱ可见往后递增,.推论(检比法的极限形式)设为正项级数,且.则ⅰ,收敛;ⅱ或=,发散.(证)例4判断级数的敛散性.解,收敛.例5讨论级数的敛散性.解.因此,当时,;时,;时,级数成为,发散2.检根法(Cauchy判别法):也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th4设为正项级数,且及,当时,ⅰ若,收敛;《数学分析》教案-8-ⅱ若,发散.(证)推论(检根法的极限形式)设为正项级数,且.则,收敛;,发散.(证)例5研究级数的敛散性.解,收敛.3．积分判别法：Th5设在区间上函数且↘.则正项级数与积分共敛散.证对且.例6讨论下列级数的敛散性:⑴;⑵.习题课一．直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时,常用下列不等式:《数学分析》教案-9-⑴.⑵对,有.⑶;特别地,有,.⑷时,有.⑸.⑹充分大时,有.例1判断级数的敛散性.解时,,(或).……例2判断级数的敛散性,其中.解时,有收敛;时,发散.例3设数列有界.证明.《数学分析》教案-10-证设.例4设且数列有正下界.证明级数.证设.例5.若,则.证;又.例6设.若级数和收敛,则级数收敛.例7设.证明⑴,,;⑵和之一或两者均发散时,仍可能收敛;⑶,,.证⑴充分大时,.⑵取.⑶.《数学分析》教案-11-二.利用同阶或等价无穷小判敛:例8判断下列级数的敛散性:⑴;⑵;⑶;⑷;⑸.例9判断下列级数的敛散性:⑴;⑵.三．利用级数判敛求极限：原理:常用判定级数收敛的方法证明或.例10证明.例11证明.例12设↘.若收敛,.证对,由收敛,有,即;,《数学分析》教案-12-即.于是,时总有.此即.§3一般项级数一.交错级数:交错级数,Leibniz型级数.二.绝对收敛级数及其性质:1.绝对收敛和条件收敛:以Leibniz级数为例,先说明收敛绝对收敛.Th2(绝对收敛与收敛的关系),收敛.证(用Cauchy准则).一般项级数判敛时,先应判其是否绝对收敛.例2判断例1中的级数绝对或条件收敛性.2.绝对收敛级数可重排性:⑴同号项级数：对级数，令则有ⅰ和均为正项级数,且有和;ⅱ,.⑵同号项级数的性质:《数学分析》教案-13-Th3ⅰ若，则，.ⅱ若条件收敛,则,.证ⅰ由和,ⅰ成立.ⅱ反设不真,即和中至少有一个收敛,不妨设.由=,=以及和收敛,.而,,与条件收敛矛盾.三.级数乘积简介:1.级数乘积:级数乘积,Cauchy积.[1]P20—21.2．级数乘积的Cauchy定理:四.型如的级数判敛法：Th(Abel判别法)设ⅰ级数收敛，ⅱ数列单调有界.则级数收敛.证(用Cauchy收敛准则,利用Abel引理估计尾项)设,由收敛,对时,对,有.于是当时对有.由Cauchy收敛准则,收敛.2.Dirichlet判别法:《数学分析》教案-14-Th8(Dirichlet)设ⅰ级数的部分和有界,ⅱ数列单调趋于零.则级数收敛.证设,则,对,有.不妨设↘0,对.此时就有.由Cauchy收敛准则,收敛.取↘0,,由Dirichlet判别法,得交错级数收敛.可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例.由Dirichlet判别法可导出Abel判别法.事实上,由数列单调有界,收敛,设.考虑级数,单调趋于零,有界,级数收敛,又级数收敛,级数收敛.例4设↘0.证明级数和对收敛.证《数学分析》教案-15-，时，，.可见时,级数的部分和有界.由Dirichlet判别法推得级数收敛.同理可得级数数收敛.习题课例1判断级数的敛散性.解注意到,所论级数绝对收敛,故收敛.(用D-判法亦可).例2考查级数的绝对及条件收敛性.解时为Leibniz型级数,……,条件收敛;时,绝对收敛.例3若.交错级数是否必收敛?解未必.考查交错级数.这是交错级数,有.但该级数发散.因为否则应有级数《数学分析》教案-16-收敛.而.由该例可见,在Leibniz判别法中,条件单调是不可少的.例4判断级数的敛散性.解从首项开始,顺次把两项括在一起,注意到,以及级数,所论级数发散.例5设级数收敛.证明级数收敛.证.由Abel或Dirichlet判法,收敛.例6,判断级数的敛散性.解.,现证级数收敛:因时不,又↘,由Dirichlet判法,级数收敛.《数学分析》教案-17-故本题所论级数发散.例7判断级数的绝对收敛性.解由Dirichlet判法,得级数收敛.但.仿例6讨论,知本题所论级数条件收敛.例8设级数绝对收敛,收敛.证明级数收敛.证先证数列收敛.事实上,收敛,收敛.令,则数列收敛,故有界.设,于是由Abel变换,有,(或而,收敛.又数列和收敛,数列收敛,部分和数列收敛.例9设数列收敛,级数收敛.证明级数收敛.证注意到,收敛.《数学分析》教案-18-例10设↘,.证明级数收敛.证法一由↘,↘,.因此,所论级数是Leibniz型级数,故收敛.证法二,↘,.由Dirichlet判法,收敛.