(完整版)数学分析课件一般项级数

返回后页前页§3一般项级数三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法返回由于非正项级数(一般项级数)的收敛性问题要比正项级数复杂得多,所以本节只对某些特殊类型级数的收敛性问题进行讨论.一、交错级数二、绝对收敛级数及其性质返回后页前页一、交错级数11234(1)(1)nnuuuuu(0,1,2,),nun若级数的各项符号正负相间,即则称为交错级数.定理12.11(莱布尼茨判别法)若交错级数(1)满足:(i){};nu数列单调递减(ii)lim0,nnu则级数(1)收敛.返回后页前页证考察交错级数(1)的部分和数列{Sn},它的奇数项和偶数项分别为211232221()(),mmmSuuuuu21234212()()().mmmSuuuuuu由条件(i),上述两式中各个括号内的数都是非负的,212{}{}.mmSS从而数列是递减的,而数列是递增的(ii)又由条件知道从而{[S2m,S2m-1]}是一个区间套.由区间套定理,存212200(),mmmSSum返回后页前页212limlim.mmmmSSS{},(1).nS所以数列收敛即级数收敛推论若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件,则收敛级数(1)的余项估计式为1.nnRu对于下列交错级数,应用莱布尼茨判别法,容易检验它们都是收敛的:在惟一的实数S,使得返回后页前页111111(1);(3)3!5!7!(21)!nn12341234(1).(4)1010101010nnn11111(1);(2)231nn返回后页前页12(5)nuuu12(6)nuuu收敛,则称原级数(5)为绝对收敛级数.各项绝对值组成的级数定理12.12绝对收敛的级数是收敛的.证由于级数(6)收敛,根据级数的柯西收敛准则,对二、绝对收敛级数及其性质若级数,NnN于任意正数,总存在正数使得对和任意正返回后页前页由于12mmmruuu因此由柯西准则知级数(5)也收敛.12mmmruuu对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种判别法对级数(6)进行考察.整数r,有12mmmruuu返回后页前页2.!2!!nnnn1limlim0,1nnnnuun的各项绝对值所组成的级数是因此,所考察的级数对任何实数都绝对收敛.例1级数21!2!!nnnnn,应用比式判别法,对于任意实数都有返回后页前页例如级数(2)是条件收敛,而级数(3)、(4)则是绝对收敛.全体收敛的级数可分为绝对收敛级数与条件收敛级数两大类.下面讨论绝对收敛级数的两个重要性质.1.级数的重排我们把正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射若级数(5)收敛,但级数(6)不收敛,则称级数(5)为条件收敛.返回后页前页原数列的重排.相应地称级数()1knnu为级数(5)的重()()1.,,nknknnvuu排为叙述上的方便记即把级数写12,(7)nvvv作定理12.13设级数(5)绝对收敛,且其和等于S,则任意重排后所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S.:()fnkn称为正整数列的重排,相应地对于数列()(){}:{}nnknknuFuuu按映射所得到的数列称为返回后页前页第一步设级数(5)是正项级数,用Sn表示它的第n个部分和.用12mmvvv表示级数(7)的第m个部分和.因为级数(7)为级数(5)(1)kvkmkiu的重排,所以每一应等于某一(1).km记12max{,,},mniii*证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.返回后页前页即级数(7)收敛,且其和.S由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有SS,从而得到.这就证明了对正项级数定理成立.第二步证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数且绝对收敛,则由级数(6)收敛第一步结论,可得nv收敛,即级数(7)是绝对收敛的.,,.mnmnS都存在使则对于任何lim,,nmnSSmS由于所以对任何正整数都有返回后页前页,.(8)22nnnnnnuuuupq0,0,0;nnnnupuq当时0,0,0.nnnnnupquu当时从而0,0,(9)nnnnpuqu,.(10)nnnnnnpqupqu要把一般项级数(5)分解成正项级数的和.为此令第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S.根据第一步的证明,收敛的正项级数重排后和不变,所以先返回后页前页.nnnSupq对于级数(5)重排后所得到的级数(7),也可按(8)式的,nnnvpq,,nnnnpqpq显然分别是正项级数的重排,办法,把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变,从而有.nnnnnvpqpqS,nnpq由级数(5)绝对收敛,及(9)式,知都是收敛的正项级数.因此返回后页前页注定理12.13只对绝对收敛级数成立.条件收敛级数重排后得到的新级数,不一定收敛,即使收敛,也不一定收敛于原来的和.更进一步,条件收敛级数适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于任何事先指定的数.例如级数(2)是条件收敛的,设其和为A,即111111111(1)1.2345678nAn1,2乘以常数后有返回后页前页1111111(1).224682nAn1111131.325742A将上述两个级数相加,得到的是(2)的重排:我们也可以重排(2)使其发散(可参考数学分析学习指导书下册39页).2.级数的乘积,nnauaunu由定理12.2知道,若为收敛级数,a为常数,则返回后页前页由此可以立刻推广到收敛级数1nnu与有限项和的乘积,即12111(),mmnknnnkaaauau那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?12,(11)nnuuuuA12.(12)nnvvvvB将级数(11)与(12)中每一项所有可能的乘积列成下设有收敛级数返回后页前页表:111213121222323132333123(13)nnnnnnnnuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvijuv这些乘积可以按各种方法排成不同的级数,常用的有按正方形顺序或按对角线顺序.返回后页前页111213121222323132333123nnnnnnnnuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuvuv正方形顺序返回后页前页111213212223313233uvuvuvuvuvuvuvuvuv对角线顺序返回后页前页111221132231.(15)uvuvuvuvuvuv定理12.14(柯西定理)若级数(11)、(12)都绝对收敛,依次相加,于是分别有和ijuvnw则对(13)中按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛,且其和等于AB.*证,nnSw以表示级数的部分和即23333231(14)uvuvuvuv1112222113uvuvuvuvuv返回后页前页12,nnS(1,2,,),kkkijwuvkn其中记1122max{,,,,,},nnmijijij12,mmAuuu12,mmBvvv.(16)nmmSAB则必有nv与{}{}nnAB和的部分和数列都是有界的.由定理条件,级数(11)与(12)都绝对收敛,因而nu返回后页前页{}nSnw于是由不等式(16)知是有界的,从而级数nw.SAB绝对收敛.下面证明的和由于绝对收敛级数具有可重排的性质,即级数的和与采用哪一种排列的次序无关,为此,采用正方形123,(17)npppp顺序并对各被加项取括号,即将每一括号作为一项,得到新级数11122221()uvuvuvuv1323333231(),uvuvuvuvuv返回后页前页nw它与级数nP同收敛,且和相同.用表示(17)的.nnnPABlimlimlimlim.nnnnnnnnnSPABABABnP与nnAB与部分和,则有关系式:从而211,11nrrrrr例2等比级数2()nr是绝对收敛的.将按(15)的顺序排列,则得到返回后页前页2222111()()(),(1)nnnrrrrrrrr2123(1).nrrnr注级数乘积在幂级数(第十四章)中有重要应用.返回后页前页三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法.引理(分部求和公式,也称阿贝尔变换),(1,2,,),,ijvin设两组实数若令12(1,2,,),kkvvvkn121232111()()().(18)niinnnnniv则有如下分部求和公式成立:证111,(2,3,,)kkkvvkn以分别乘以返回后页前页(1,2,,),kkn整理后就得到所要证的公式(18).12(i),,,max{};nkk是单调数组,记(ii)(1),kkknA对任一正整数有则有13.(19)nkkkvA12231,,,nn推论(阿贝尔引理)若证由(i)知都是同号的.于是由分部求和公式及条件(ii)推得返回后页前页121232111()()()nkknnnnnkv12231()()()nnnAA1nnAA1(2)nA3.A1122(20)nnnnabababab现在讨论形如级数的收敛性的判别法.定理12.15(阿贝尔判别法)若{}na为单调有界数列,返回后页前页且级数nb收敛,则级数(20)收敛.{}na0,nMaM使证由于数列单调有界,故存在(阿贝尔引理条件(i)).又由于级数nb收敛,依柯西准则,对任给正数,存在正数N,使当nN时,对任一正整数p,都有.npkknb(阿贝尔引理条件(ii)).应用(19)式得到返回后页前页3.npkkknabM这就说明级数(20)收敛.定理12.16(狄利克雷判别法)若数列{an}单调递减,lim0,nnanb且又级数的部分和数列有界,则级数(20)收敛.nb1nnnkVb证由于部分和数列有界,故存在正数M,使||,nVM因此当n,p为任何正整数时,返回后页前页12||||2.nnnpnpnbbbVVM{}nalim0,nna0,又由于数列单调递减,且对,,||.(19)nNnNa当时有于是根据式得到111||2(||2||)nnnpnpnnpababMaa6.M有了阿贝尔判别法就知道:若级数nu收敛,则(0),1nnpuupnn级数都收敛.返回后页前页例3若数列{an}具有性质:12,lim0,nnnaaaasincos(0,2)nnanxanxx则级数和对任何都收敛.1132sincossinsinsin22222nkxxxkxx11sinsin22nxnx解因为返回后页前页1sin,2nx(0,2),sin0,2xx当时故得到11sin12cos.(21)22sin2nknxkxxcosnx(0,2)x