考前必备-高考数学复习笔记-精简版

第I卷160分部分A3.复数运算*1.运算律：⑴mnmnzzz；⑵()mnmnzz；⑶1212()(,)mmmzzzzmnN.【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围.*2.模的性质：⑴1212||||||zzzz；⑵1122||||||zzzz；⑶nnzz.*3.重要结论：⑴2222121212||||2||||()zzzzzz；⑵2212zzzz；⑶212ii；⑷11iii，11iii；⑸i性质：T=4；1,,1,4342414nnnniiiiii.【拓展】：321110113i22B1.线性规划（5）(cos,sin)F；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点)sin,(cos及余弦定理进行转化达到解题目的。B2.三角变换：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下：2，22；22，222；()()2222；22[()]2[()]()()()()；2()，2()；154530,754530；424等.（4）常值变换常值3321,,,,1,32232可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值“1”可作如下代换：22221sincossectantancot2sin30tansincos042xxxxxx（5）引入辅助角一般的，222222sincos(sincos)sin()ababababab，期中2222cos,sin,tanabbaabab.特别的，sincos2sin()4AAA;sin3cos2sin()3xxx，3sincos2sin()6xxx等.（6）特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简.举例：22sin20cos50sin20cos50A，22cos20sin50cos20sin50B可以通过12sin70,sin702ABAB两式和，作进一步化简.B3.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点．(1)角的变换因为在ABC中，ABC（三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.即，sinsin()ABC；coscos()ABC；tantan()ABC．22sincosABC；22cossinABC；22tancotABC.(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．面积公式：11sin()()()22aSshabCrpppapapa.其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半．(3)对任意ABC，；在非直角ABC中，tantantantantantanABCABC．(4)在ABC中，熟记并会证明：*1.,,ABC成等差数列的充分必要条件是60B．*2.ABC是正三角形的充分必要条件是,,ABC成等差数列且,,,abc成等比数列．*3.三边,,abc成等差数列2bac2sinsinsinABC1tantan223AC；3≤B.*4.三边,,,abc成等比数列2bac2sinsinsinABC,3≤B.(5)锐角ABC中,2ABsincos,sincos,sincosABBCCA，222abc；sinsinsincoscoscosABCABC；tantantancotcotcotABCABC.【思考】：钝角ABC中的类比结论(6)两内角与其正弦值：在ABC中sinsinabABABcos2cos2BA，…(7)若CBA，则2222cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC≥.(8)ABabsinsinABcos2cos2BA.组三常见三角不等式(1)若(0,)2x，则sintanxxx；(2)若(0,)2x，则1sincos2xx≤；(3)|sin||cos|1xx≥；(4)xxxfsin)(在),0(上是减函数；B7.最值定理①,0,2xyxyxy≥由，若积()xyP定值，则当xy时和xy有最小值2p；②,0,2xyxyxy≥由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值214s.【推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22.（1）若积xy是定值，则当||yx最大时，||yx最大；当||yx最小时，||yx最小.（2）若和||yx是定值，则当||yx最大时，||xy最小；当||yx最小时，||xy最大.③已知,,,Raxby，若1axby，则有：21111()()2()byaxaxbyababababxyxyxy≥④,,,Raxby，若1abxy则有：2()2()aybxxyxyabababxyB8.求函数值域的常用方法：①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.②逆求法：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围，型如,(,)axbyxmncxd的函数值域；④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；⑥不等式法：利用基本不等式2(,)abababR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如)0(kxkxy，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．⑩判别式法：对于形如21112222axbxcyaxbxc（1a,2a不同时为0）的函数常采用此法．【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：1.2bykx型，可直接用不等式性质；2.2bxyxmxn型，先化简，再用均值不等式；3.22xmxnyxmxn型，通常用判别式法；4.2xmxnymxn型，可用判别式法或均值不等式法；⑪导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.……B9.函数值域的题型(一)常规函数求值域：画图像，定区间，截段.常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数.(二)非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.解题步骤：(1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三)分式函数求值域：四种题型(1)cxdyaxb(0)a：则cya且yR.(2)(2)cxdyxaxb：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围.(3)2223261xxyxx：(21)(2)21()(21)(31)312xxxyxxxx，则1y13y且且yR.(4)求2211xyxx的值域，当xR时，用判别式法求值域。2211xyxx2(2)10yxyxy，2(2)4(1)0yyy值域.B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当04x时，求函的数(82)yxx最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x，求函数1()4245fxxx的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1xxfxxx的值域；⑷变用公式：基本不等式2abab有几个常用变形：222abab,2()2abab，2222abab，222()22abab.前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4.求函数152152()22yxxx的最大值；⑸连用公式：例5.已知0ab，求216()yabab的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12xy，且xye，求ln(2)ytx的最大值；⑺三角变换：例7.已知20yx≤，且tan3tanxy，求txy的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0ab，且21ab，求11tab的最小值.C、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力C1.线段的定比分点公式设111(,)Pxy，222(,)Pxy，(,)Pxy是线段12PP的分点，是实数，且12PPPP（或P2P=1P1P），则121211xxxyyy121OPOPOP12(1)OPtOPtOP（11t）推广1：当1时，得线段21PP的中点公式：121222yyyxxx推广2：MBAM则1PBPAPM（对应终点向量）．C2.抽象函数抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.求解抽象函数问题的常用方法是：(1)借助模型函数探究抽象函数：①正比例函数型：()fxcx()()(),(1)fxyfxfyfc.②指数函数型：()xfxa()()()()()(),(1,)0fxfxyfyfxyfxfyfa.OBAP这一块知识点由李晓峰整理③对数函数型：()logafxx()()(),()()(),()1(0,1)xffxfyyfxyfxfyfaaa.④幂函数型：()fxx()()(),(1)fxyfxfyf,()()()xfxfyfy.⑤三角函数型：()cosfxx,()singxx,()()()()()fxyfxfygxgy,0sin(0)1,lim1xxfx.()fxtanx,()()()1()()fxfyfxyfxfy.（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：（3）利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出(0)f或(1)f、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。C3.函数图像的对称性【小结】函数对称性的充要条件函数关系式(xR)对称性()()ffxx函数()fx图像是奇函数()()ffxx函数()f