广东省2011届高考数学二轮总复习课件：第24课时 圆锥曲线的综合问题

专题五解析几何.131,032EOxCEABCABCAOBE例：设椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为过点的直线交椭圆于、两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆的方程．2CABC本题利用构造等量关系，比利用圆锥曲线的性质构造等量关系降低了很多的切入点：运算量．2222221122332301.231(23)420.()()xyttmyxxytmyxxmymytAxyBxy因为椭圆的离心率为，故可设椭圆的方程为．设直线的方程为由，消去得设，解，，析：．12211221212221224.232(1)2(1)2.842323126||2366322||||AOBmyymCABCxyxyyymmyymmSyymmmm则①又，故，，，即②由①②得，，则，22122222362223210.23232623102.10mmAOBtmyytmmxxyyE当，即时，的面积取最大值．此时，得所以，直线的方程为，椭圆的方程为与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：1．结合定义利用图形中几何量之间的大小关系．2．不等式(组)求解法：根据题意，结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围．3．函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，用一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．4．利用基本不等式．基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思．5．结合参数方程，利用三角函数的有界性．直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式．因此，它们的应用价值在于：(1)通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；(2)利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题．6．构造一个二次方程，利用判别式△≥0.22181,01,020.120,2()CxyACMCPAMNCMAMAPNPAMNEEFEGHGFHFGFH如图所示，已知圆：，定点，，为圆上一动点，点在上，点在上，且满足，，点的轨迹为曲线求曲线的方程；若过定点的直线交曲线于不同的两点、点在点、之间，且满变式足，求的1：取值范围．22220.22222.1,01,022222.2111.12.AMAPNPAMNPAMANNANMCNNMCNANACNECxyAacacbE因为，，所以为线段的垂直平分线．连接，则又因为，所以所以动点的轨迹曲线是以点，为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为，焦距所以，，则所以曲线的方为析程解：22222221122121.321212860.306424120.2()()(01)2kykxxyykxkxkkkGxyHxyFGFHxx若直线的斜率不存在，则若直线的斜率存在，设斜率为，则联立方程组，消去，得由，即，解得设，，，．由．222116(01)131211614(01)1.331[1)3k结合韦达定理所得等式可知，所以，解得可知，，综上．22122222122323131(21045.34.12010)xyCababFCyxCCPPFCTCCyMNMNCTCC已知椭圆：的右焦点与抛物线：的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，圆的圆心是抛物线上的动点，圆与轴交于，两点，且求椭圆的方程；证明：无论点运动到何处，圆恒经过椭圆例2上：广州二模一定点．2221112141,01,01,01.1CyxFCFFCx方法：因为抛物线：的焦点坐标为，所以点的坐标为．所以椭圆的左焦点的坐标为，抛物线的准线方程为解析：3232CCTCC利用圆的知识求出圆的方程，将其与抛物线的方程联立处理，或先取特殊位切入点置确定此时圆的方程，并将其与抛物线的方程联立求交点，再检验证：明结论．1111212112111122122()(00)1.5521.33382640.33226()33101.PxyxyPFxPFxxyxyyPxyCabcab设点的坐标为，，．由抛物线的定义可知因为，所以，解得由，且，得所以点的坐标为，．在椭圆：中，22122222122226210332261043323.43.1aPFPFabxyacC又，所以，则所以椭圆的方程为22221111212112111141,01,01.()(00)1.5521.33382640.323CyxFCxPxyxyPFxPFxxyxyy：因为抛物线：的焦点坐标为，所以点的坐标为．易知抛物线的准线方程为设点的坐标为，，，由抛物线的定义可知因为，所以，解得由，且，得方法2212222222122226()33101.12.3424114399.PxyCabcabcaabcbaxybC所以点的坐标为，．在椭圆：中，由，解得所以椭圆的方程为00332220022230002222000002000().4244.4.44(0).4241TxyCrCyMNMNMNrxrxCxxyyxTCyxyyxxxyxx设点的坐标为，，圆的半径为因为圆与轴交于、两点，且，所以，所以所以圆的方程为①因为点是抛物线：上的动点，所以，所以把代入①证法消去：，，整理得2220002222131(1)240.2102220.0402,0142,03xyyyxyyxxyyxyxyCTCC②方程②对任意实数恒成立，所以，解得因为点在椭圆：上，所以无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点．0032220003222002223000000223().44(0)4244.4.0y4004.2TxyCrTCyxyxxCyMNMNMNrxrxCxxyyxxxyCxy：设点的坐标为，，圆的半径为因为点是抛物线：上的动点，所以．因为圆与轴交于、两点，且，所以，所以所以圆的方程为③令，则，得，此时圆的方程为证法222222313142.014342,02,02,02,02,02,0.2,0xyxxyyCxyCTCC由，解得所以圆：与椭圆的两个交点为、．分别把点、代入方程③进行检验，可知点恒符合方程③，点不恒符合方程③所以无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点．存在性问题，其一般解法是先假设结论存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则假设存在的结论成立；否则，不成立．4,01(2)(2)0.1211(02)ClxPPQlQPCPQPCPQPlykxABkABDk已知平面上一定点和一定直线：，为该平面上一动点，作，垂足为，且问点在什么曲线上？并求出该曲线的方程；设直线：与中的曲线交于不同的两点，，是否存在实数，使得以线段为直径的圆经过点，？若存在，求出的值；若不存在，说变式2：明理由．222222222()(2)(2)0.4044101.141412.21PxyPCPQPCPxQPCPQxyxxyPy设点的坐标为，．由得，所以，化简得所以点在双曲线上，该双曲线的方程为解析：1122222212122222()()132130.1412213.3304431301313.222ABxyxyykxkxkxxykxxxxkkABkkk设、两点的坐标分别为，、，．由，得所以，因为直线与双曲线交于两点，所以，即，解得121212121212212122222(02)221122033013901321()390337141313()842.1244ADBDABDADBDyykkxxyyxxkxkxxxkxxkxxkkkkkkkkk因为若以为直径的圆过，，则，所以，即，所以，即，所以，即，解得，所以，．故满足题意的值存在，且的值为1212222,02,02.12,1FFPPFPFPEElFnalEPQaxMlFMPMQM已知，，点满足，记点的轨迹为求轨迹的方程；若直线过点且法向量为，设直线与轨迹交于、两点．①求实数的取值范围；②在轴上是否存在定点，无论直线绕点怎样转动，恒成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说例3：明理由．121212222222222||20.23443012.11(1)33PFPFFFPFFlaxyyaxaxaxayxyxx由，知点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，其方程为．①易知直线的方程为由，得解析：222231(45)03MPMQmamma切入点利用恒成立，得对任意恒成立是解决问：题的关键．11222422212221222()()30164343040343033(3)(3),0PxyQxyaaaaaxxaaxxaaaMm设，，，．由条件得，解得，即，，．②假设存在点满足条件．1212222212122222222221(2)43450331(45)03101.41,500MPMQMPMQxmxmyyaxxamxxmamamamammmmmmMa因为，所以，得对存在定任意恒成立，所以，解点满得因此，足条件．1．“恒成立”(定值)问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题．2．解决“恒成立”(定值)问题的常用方法：(1)函数与方程方法：利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况进行研究．有些问题需要经过代换转化才是二次函数或二次方程．注意代换后的自变量的范围变化．(2)分离参数法：将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如a=f(x)或af(x)或af(x)恒成立的形式．则a=f(x)⇔a的范围是f(x)的值域；af(x)恒成立⇔a[f(x)]min；af(x)恒成立⇔a[f(x)]max.(3)若已知恒成立，则可充分利用条件(赋值法、数形结合等)．221122122212195.()()()000.14122339((201)0)xOyxyABFTtmTATBMxyNxymyyPPFPBPxxTtMNxm在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为设过点，的直线、与此椭圆分别交于点，、，，其中，，设动点满足，求点的轨迹；设，，求点的坐标；设，求证：直线必过轴上的一定点其坐标与变式3江苏卷无关：．2222221212()2,03,03,049234.2.120035120(2)()2239139PxyFBAPFPBxyxyxxxyyMxNP解析：故点的轨迹为直线设点，，则、、．由，得，化简得将，分别代入椭圆方程，且，，得，、，．03523031110(73035