初中数学一题多解题

初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z元，则根据题意，得135992512433202xyzxyz..分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、y、z的值是不可能的，但注意到所求的是xyz的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。1.凑整法解1：123，得5344153xyz.23，得7735().xyzxyz105.答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略）解2：原方程组可变形为134292522320()().()().xyzyzxyzyz解之得：xyz105.2.主元法解3：视x、y为主元，视z为常数，解1、2得xz0505..，yz05505..xyzzz05505105...解4：视y、z为主元，视x为常数，解1、2得yxzx00512.，xyzxxx1052105..解5：视z、x为主元，视y为常数，解1、2得xyzy005112..，xyzyyy005112105...3.“消元”法解6：令x0，则原方程组可化为5992543320051yzyzyz...xyz105.解7：令y0，则原方程组可化为1399252332000511xzxzxz....xyz105.解8：令z0，则原方程组可化为1359252432005055xyxyxy....xyz105.4.参数法解9：设xyzk，则1359925124332023xyzxyzxyzk..123，得xy0054.332，得xyk3325.由4、5得332005k..k105.即xyz105.5.待定系数法解10.设xyzaxyzbxyzabxabyabz()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421abababab将其代入1中，得xyz121925421321212205105....附练习题1.有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5吨）2.有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）平面几何在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F求证：（1）BF·CE=BE·DF（2）AE⊥CF（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证：EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。题14解答：因为CD^2=AD·DBAC^2=AD·ABBC^2=BD·AB所以1/AC^2+1/BC^2=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）=（AD+DB）/（AD·BD·AB）=AB/AD·BD·AB=1/AD·BD=1/CD^215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于点G，求证：CE=BG27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，求证：过点D的圆O1的切线平分BC30、（在19题中增加一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，求证：⊙CED平分线段AF31、（在题1中增加一个条件）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NS‖CD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN又∠BCE=∠BCD∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACDNS‖CD，∴∠NSC=∠ACD∴∠NSC=∠NCS∴SN=CN∴PQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB=AE·BE题33证明CB^2=BD·AB因EB=CB∴EB^2=BD·AB∴EB：BD=AB：BE又∠EBD=∠ABE∴△EBD∽△ABE∴EB：AB=DE：AE∴DE·AB=AE·BE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，求证：EG^2=BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，∴△EBG∽△EHC∴EB：EH=EG：EC∴EH·EG=BE·EC又HG‖CD，CF=FD∴EH=EG∴EG^2=BE·EC题35（在题19中增加点F）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD=AF·EF题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD求证：AE^2=AD·AB题38已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD题39（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB题40：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB题41已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB的度数。题42已知，CD是△ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，则∠ACB一定是90度吗？为什么？题43：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，△BDC的内切圆⊙O2，求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB题44：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：R1+R2+R=CD题45、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P求证：△PAD的面积和△PBC的面积相等题45解：∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）∴Rt△APC∽Rt△BPD∴AP·PD=BP·PC又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APDS△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB∴S△PAD=S△PBD题46（在题38的基础上变一下）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB交⊙ABC与E，交AB与D，若PA=5，PC=10，求CD·CE的值题47在题46中，求sin∠PCA题48（由题19而变）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，求证：（1）AC=AG（2）、AG^2=AD·AB（3）、G在∠DCB的平分线上（4）、FG‖BC（5）、四边形CEFG是菱形题49题49解答：题目50（题33再变）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，