服装销售问题的数学模型

1服装销售问题的数学模型摘要本文基于层次分析法建立了解决服装进货量排序的数学模型，并在商店日销售数量及客人老中青比例一定的情况下，用模糊线性规划估计了店主一天内销售五个类别服装的最大收入。通过这两个数学模型的建立，可为店主提供科学的进货决策依据。对于问题一，运用用层次分析法将定性问题转化成定量问题，构造衣料成分，品牌及预售价格等因素的成对比矩阵，即这五个因素关于不同服装类别间的成对比矩阵，将该决策问题分为目标层、准则层1、准则层2、方案层四个层次。通过相互比较，确定各准则对于目标的权重，及各个方案对于每一准则的权重，并运用Matlab软件求得每一个成对比较矩阵的最大特征根和权限向量。将方案层对于准则层的权重，两准则层间的权重及准则层对于目标层的权重进行综合分析，计算出方案层对目标层的权重。经组合一致性检验，最终确定出五类服装的进货量由大到小的排序。针对问题二，同理通过层次分析法预测出各类服装的销售量，对于销售价格通过顾客对各类服装的偏好程度，等效为对“价格重视”的隶属度，建立隶属函数通过隶属度逆向求解出顾客对此类服装接受的价格，最后，对老中青三类顾客的权重加权平均求出服装销售的收入。关键词：服装销售,层次分析法,预测,隶属函数,加权平均，收入估计2一、问题的重述这是一个服装销售问题，一个商店欲购置一些新的衣服来卖，经过筛选，店主看上五款新衣服，服装编号为A、B、C、D、E。此五类服装的各项指标如表1：表1：服装的各项指标服装类别ABCDE1、花色样式较流行流行较流行较流行较流行2、耐穿度好良好一般好好3、预售价格200--300100--150300--400240--320160--2404、品牌一线品牌二线品牌一线品牌一线品牌二线品牌5、衣料成分纯棉普通化纤丝绸棉麻80%棉20%化纤上表中预售价格m--n，其中m表示还价的底线，n表示标价，所以衣服价格在m与n之间都可以卖出。店主请来三位专家为其参谋，希望专家给出进货意见，但是三位专家对服装的指标各有偏好，专家一偏好顺序为1、5、(2、3、4)，专家二偏好顺序为2、1、5、(3、4)，专家三偏好顺序为3、2、1、(4、5)。其括号内的为同等偏好。问题1：请给出店主对此五类服装的进货量由大到小的排序。问题2：假设该店一天能售出20件衣服，光顾该店的客人的老中青的比例为1：3：6，且货源充足，请估计一下店主一天销售此五类服装的最大收入。二、基本假设1、三位专家给出的进货意见权重相同；2、各类服装的各项指标固定不变不随市场波动而变化；3、模型对各层中元素相互间的影响量化准确；4、顾客重视服装预售价格因素的权重值是论域服装类别中的元素对“价格重视”(R)的隶属度；5、老中青三类顾客对服装的指标偏好顺序依次为3,2,(1,4,5)2,5,(1,3,4);1,4,(2,3,5)；6、各类服装的预售标价与还价的底价不随市场波动而改变；三、符号说明ix：第i个影响因素；ija：ix与jx的重要性之比；nnijaA)(：成对比矩阵A；CI：一致性指标；CR：一致性比例；RI：平均随机一致性指标RI；3()kw：第k层对第1层的组合权向量；()kW：第k层对第1k层的权向量作为列向量而组成的矩阵；)(xRij：隶属函数)(xRij；ja：还价底线；jb：为标价；j：第j类服装销售量；iw：第i类顾客光顾该店的权重；ijx：第i类顾客对第j类服装接受的价格；N：各类服装销售数目；I：单天销售收入；P：老中青人群购买各类服装的价格；四、模型的建立4.1问题1模型的分析与建立4.1.1建立层次结构模型在深入分析服装销售问题的基础上，将有关的各个影响因素按照不同属性自上而下的分为四层：第一层：目标层Z，即对五类服装的进货量的排序Z；第二层：准则层A，即专家一1A、专家二2A、专家三3A；第三层：准则层B，即花色样式1B、耐穿度2B、预售价格3B、品牌4B、衣料5B；第四层：方案层C，即服装A类1C、服装B类2C、服装C类3C、服装D类4C、服装E类5C。建立结构图为：44.1.2构造成对比较矩阵面对的决策问题：要比较n个因素nxxx,,,21对目标Z的影响。我们要确定它们在Z中的权重，即这n个因素对目标Z的相对重要性。我们用两两比较的方法将各因素的重要性量化。每次取两个因素ix和jx，用正数ija表示ix与jx的重要性之比。全部比较结果得到的矩阵nnijaA)(称为成对比较矩阵。显然有：njiaaaijjiij,,2,1,,0,1在选取ija的时候，用数字9,,2,1及其倒数91,,31,21作为标度，其意义是：ix与jx重要性相同稍相同重要很重要绝对重要ija13579在每两个等级之间有一个中间状态，ija可分别取值2,4,6,8。4.1.3一致性检验成对比较矩阵的不一致性是不可避免的，但只要它的不一致性不是很严重，我们是五类服装进货量排序Z专家一1A专家二2A专家三2A花色样式1B耐穿度2B预售价格3B品牌4B衣料成分5B服装A类1C服装B类2C服装D类4C服装C类3C服装E类5C5可以接受的。衡量可接受的指标以及寻求该指标的方法：(1)计算一致性指标CI用来衡量矩阵的不一致程度：max1nCIn，其中max为矩阵最大特征值。(2)查找相应的平均随机一致性指标RI。对9,,1n，RI的值如下：N123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45(3)计算一致性比例CR：CICRRI结论：当1.0CR时，认为矩阵的不一致性是可以接受的，当1.0CR时，则应该修改比较矩阵直至达到可接受为止。(4)计算权向量与组合权向量并做组合一致性检验：对于3个层次的决策问题，若第1层只有1个因素，第2、3层分别有,m个因素,记第2，3层对第1，2层的权向量分别为：(2)(2)(2)1(,,)Tn(3)(3)(3)1(,,),1,2,Tkkkm以(3)kw列向量构成矩阵：(3)(3)(3)1[,,]n则第3层对第1层的组合权向量为：(3)(3)(2)更一般地，若共有s层，则第k层对第1层的组合权向量满足：()()(1),3,4,kkk其中()kW是以第k层对第1k层的权向量为列向量组成的矩阵，于是最下层（第s层）对最上层的组合权向量为：()()(1)(3)(2)sss组合一致性检验可逐层进行。若第p层的一致性指标为()()1,,ppnCICI（n是第1p层因素的数目），随机一致性指标为()()1,,ppnRIRI，定义：()()()(1)1[,,]ppppnCICICIw()()()(1)1[,,]ppppnRIRIRIw则第p层的组合一致性比率为：()()(),3,4,,pppCICRpsRI第p层通过组合一致性检验的条件为()0.1pCR。定义最下层（第s层）对第1层的组合一致性比率为：*()2sppCRCR仅当*CR适当地小时，才认为整个层次的比较性判断通过一致性检验。64.2问题2模型分析与建立4.2.1层次分析法对销售服装的预测层次分析法通过对各评价因素或选择方案相对重要性的定量判断,来获得各层次以及对总目标的优先程度或权重,由此层次化地构造并求解复杂的多属性、多选择方案、多阶段决策问题。运用问题1中的层次分析法理论，建立预测服装销售种类为目标层，老中青三类顾客为准则层1，影响服装销售的指标因素为准则层2，服装的类别为决策层的一个递阶层次结构模型。按照以上的概念模型预测销售服装的结果。4.2.2模糊隶属度的逆向求解通过层次分析法求得的不同顾客对各类服装在预售价格因素中所占的权重，这个权重值也是论域服装类别中的元素对“价格重视”的隶属度。(1)建立隶属函数第i类顾客对第j类服装的“价格重视”(R)的隶属函数)(xRij定义为：1,(),0,jjijjjjjjxbbxRxaxbbaxa其中ja为还价底线，jb为标价。(2)根据相应的隶属度逆向求出价格对相应的隶属函数得该价格x：)()(xRabbxijjjj4.2.3加权平均求服装销售最大收入加权平均法主要是考虑各因素（或指标）在评价中所处的地位或起的作用不尽相同，给每个评价指标确定一个权重来体现这种不同。本问题估计一天销售此五类服装的最大收入，针对各类顾客光顾该店存在的权重所得到的收入公式为：11nniijjjiYwx五、模型的求解5.1问题1模型求解：5.1.1构造成对比较矩阵比较准则层1中三位专家对目标进货量的影响，可构造成对比较矩阵71111111111A,准则层2中，5种服装指标对准则层1中3位专家的进货意见影响，可构造成对比较矩阵：11.00005.00005.00005.00002.00000.20001.00001.00001.00000.33330.20001.00001.00001.00000.33330.20001.00001.00001.00000.33330.50003.0B0003.00003.00001.000021.00000.50004.00004.00003.00002.00001.00006.00006.00005.00000.25000.16671.00001.00000.50000.25000.16671.00001.00000.50000.33330.2B0002.00002.00001.000031.00000.33330.25002.00002.00003.00001.00000.50005.00005.00004.00002.00001.00006.00006.00000.50000.20000.16671.00001.00000.50000.2B0000.16671.00001.0000方案层中，服装类别对准则层2中5种服装指标的影响，可构造成对比较矩阵：11.00000.50001.00001.00001.00002.00001.00002.00002.00002.00001.00000.50001.00001.00001.00001.00000.50001.00001.00001.00001.00000.5C0001.00001.00001.000021.00002.00003.00001.00001.00000.50001.00002.00000.50000.50000.33330.50001.00000.33330.33331.00002.00003.00001.00001.00001.00002.0C0003.00001.00001.000031.00004.00000.33331.00001.00000.25001.00000.14290.20000.50003.00007.00001.00002.00005.00001.00005.00000.50001.00002.00001.00002.0C0000.20000.50001.0000841.00002.00001.00001.00002.00000.50001.00000.50000.50001.00001.00002.00001.00001.00002.00001.00002.00001.00001.00002.00000.50001.0C0000.50000.50001.000051.00003.00000.50005.00002.00000.33331.00000.25002.00000.50002.00004.00001.00006.00003.00000.20000.50000.16671.00000.33330.50002.0C0000.3333