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1.2.21.2.2单位圆与三角函数线【学习要求】1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．【学法指导】1．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．2．三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换，正弦线、正切线的正向与y轴的正向相同，向上为正，向下为负；余弦线的正向与x轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.填一填练一练研一研本课时栏目开关1.2.2填一填·知识要点、记下疑难点1．三角函数的定义域正弦函数y＝sinx的定义域是；余弦函数y＝cosx的定义域是；正切函数y＝tanx的定义域是．2．三角函数线如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于P点．过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点．单位圆中的有向线段、、分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．记作：sinα＝，cosα＝，tanα＝.RR{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}MPOMATMPOMAT填一填练一练研一研本课时栏目开关1.2.2填一填·知识要点、记下疑难点填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2探究点一三角函数的定义域任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y＝sinx的定义域是R；余弦函数y＝cosx的定义域是R；正切函数y＝tanx的定义域是{x|x∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z}．在此基础上，可以求一些简单的三角函数的定义域．例如：(1)函数y＝sinx＋tanx的定义域为________________________________．{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2(2)函数y＝sinx的定义域为_______________________．(3)函数y＝lgcosx的定义域为__________________________．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}{x|2kπ－π2x2kπ＋π2，k∈Z}填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2探究点二三角函数线的作法问题1请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？答过任意角α的终边与单位圆的交点P，过点P向x轴作垂线，垂足为M，则由垂足M指向点P的有向线段MP就叫做α的正弦线，位于x轴上，由原点指向垂足M的有向线段OM就是α的余弦线．过点A(1,0)作单位圆的切线，切线与角α的终边或其反向延长线交于点T，则由A指向交点T的有向线段AT就叫角α的正切线．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2问题2作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)103π.答填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2探究点三三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何表示，是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充，线段的长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三角函数线的变化规律，回答下列问题．问题1若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：sinα的范围是；cosα的范围是.－1－1≤sinα≤1≤cosα≤1填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2问题2若α为第一象限角，证明sinα＋cosα1.证明设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，则sinα＝MP，cosα＝OM，OP＝1.在Rt△OMP中，由两边之和大于第三边得MP＋OMOP，即sinα＋cosα1.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2问题3若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin2α＋cos2α与1的关系．解当α的终边落在x轴上时，sinα＝0，|cosα|＝1，sin2α＋cos2α＝1；当α的终边落在y轴上时，|sinα|＝1，cosα＝0，sin2α＋cos2α＝1；当α的终边不落在坐标轴上时，sinα＝MP，cosα＝OM.在Rt△OMP中，|MP|2＋|OM|2＝|OP|2＝1.∴sin2α＋cos2α＝1.综上所述，对于任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2[典型例题]例1在单位圆中画出满足sinα＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解已知角α的正弦值，可知MP＝12，则P点纵坐标为12.所以在y轴上取点0，12.过这点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的集合为{α|α＝2kπ＋π6或α＝2kπ＋5π6，k∈Z}．小结作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2跟踪训练1根据下列三角函数值，作角α的终边，然后求角的取值集合：(1)cosα＝12；(2)tanα＝－1.解(1)因为角α的余弦值为12，所以OM＝12，则在x轴上取点12，0，过该点作x轴的垂线，交单位圆于P1、P2两点，OP1，OP2是所求角α的终边，α的取值集合为：{α|α＝2kπ±π3，k∈Z}．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2(2)因为角α的正切值等于－1，所以AT＝－1，在单位圆上过点A(1,0)的切线上取AT＝－1，连接OT，OT所在直线与单位圆交于P1、P2两点，OP1，OP2是角α的终边，则角α的取值集合是{α|α＝2kπ＋3π4或α＝2kπ＋7π4，k∈Z}＝{α|α＝nπ＋3π4，n∈Z}．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2例2在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sinα≥32；(2)cosα≤－12.解(1)作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.①②填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2(2)作直线x＝－12交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为α|2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.小结利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如sinx≥m或sinx≤m的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2跟踪训练2已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围．解由题意知sinαcosα，tanα0.如图，由三角函数线可得π4α54π，0απ2或πα32π.∴π4απ2或πα54π.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2例3求下列函数的定义域．f(x)＝1－2cosx＋lnsinx－22.解由题意，自变量x应满足不等式组1－2cosx≥0，sinx－220.即cosx≤12，sinx22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴x|2kπ＋π3≤x2kπ＋34π，k∈Z.填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2小结求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出使每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.2.2跟踪训练3求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域．解∵3－4sin2x0，∴sin2x34，∴－32sinx32.如图所示．∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3∪2kπ＋2π3，2kπ＋4π3(k∈Z)，即x∈kπ－π3，kπ＋π3(k∈Z).填一填练一练研一研本课时栏目开关几何画板演示练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.21．角α(0α2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为()A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π42．如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线PM，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线PM，正切线ATDC填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.23．在[0,2π]上，满足sinx≥12的x的取值范围为()A.0，π6B.π6，5π6C.π6，2π3D.5π6，πB填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.24．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“”或“”连接)：(1)sin23πsin45π；(2)cos23πcos45π；(3)tan23πtan45π.解析作出23π和45π的三角函数线，如图所示．根据三角函数线得：sin23π＝MPsin45π＝M′P′；cos23π＝OMcos45π＝OM′；tan23π＝ATtan45π＝AT′.填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.21．三角函数线的意义三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．具体地说，正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横坐标轴一致，向右为正，向左为负．三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便．填一填练一练研一研本课时栏目开关练一练·当堂检测、目标达成落实处1.2.22．三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT.注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒．填一填练一练研一研本课时栏目开关