《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第一章 1.3.1正弦函数的图

1.3.1（四）1.3.1正弦函数的图象与性质(四)【学习要求】1．理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响．2．掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．【学法指导】1．利用变换作图法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y＝sin2x的图象向左平移π6个单位得到的是y＝sin2x＋π6的图象，这是初学者容易犯的错误．填一填练一练研一研本课时栏目开关1.3.1（四）事实上，将y＝sin2x的图象向左平移π6个单位应得到y＝sin2(x＋π6)，即y＝sin(2x＋π3)的图象．2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是“对角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生.填一填练一练研一研本课时栏目开关填一填·知识要点、记下疑难点1.3.1（四）用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向(当φ0时)或向(当φ0时)平行移动个单位长度而得到．左右|φ|填一填练一练研一研本课时栏目开关填一填·知识要点、记下疑难点1.3.1（四）2．ω(ω0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标(当ω1时)或(当0ω1时)到原来的倍(纵坐标)而得到．3．A(A0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标(当A1时)或(当0A1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到，函数y＝Asinx的值域为，最大值为，最小值为.缩短伸长1ω不变伸长缩短A[－A，A]A－A填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）探究点一φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响①利用五点法作出函数y＝sinx的图象，通常选取的五个点依次是，，，，．②为作出函数y＝sinx＋π3在一个周期上的图象，请先完成下表，并回答相应的问题：x＋π30π2π3π22πxsinx＋π3(0,0)π2，1(π，0)3π2，－1(2π，0)－π3π62π37π65π3010－10填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）通过上表可知，利用五点法作函数y＝sinx＋π3的图象通常选取的五个点依次是：，，，，.③为了作出函数y＝sinx－π4在一个周期上的图象，请先完成下表，并回答相应的问题：x－π40π2π32π2πxsinx－π4－π3，0π6，12π3，07π6，－15π3，0π434π54π74π94π010－10填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）通过上表可知，利用五点法作函数y＝sinx－π4的图象通常选取的五个点依次是：，，，，.④在同一坐标系中，作出函数y＝sinx，y＝sinx＋π3，y＝sinx－π4的图象：π4，034π，154π，074π，－194π，0填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）⑤根据y＝sinx，y＝sinx＋π3，y＝sinx－π4的图象回答下列问题：函数y＝sinx＋π3的图象可以看作由正弦曲线y＝sinx上所有的点向平移个单位长度得到；函数y＝sinx－π4的图象可以看作由正弦曲线y＝sinx上所有的点向平移个单位长度得到．规律提炼：一般地，函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象，可以看作是把y＝sinx图象上的各点向(φ0)或向(φ0)平移个单位而得到(可简记为左“＋”，右“－”)，这种变换称作相位变换．左π3右π4左右|φ|填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）探究点二ω(ω0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响①函数y＝sin2x的周期为π，利用五点法作图通常选取的五个点依次是(0,0)，，，，．②函数y＝sinx2的周期为4π，利用五点法作图通常选取的五个点依次是(0,0)，，，，．③在同一坐标系中，作出函数y＝sinx，y＝sin2x，y＝sinx2的图象：π4，1π2，034π，－1(π，0)(π，1)(2π，0)(3π，－1)(4π，0)填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）④根据y＝sinx，y＝sin2x，y＝sinx2的图象回答下列问题：函数y＝sin2x的图象可以看作把正弦曲线y＝sinx图象上所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)；函数y＝sinx2的图象可以看作把正弦曲线y＝sinx图象上所有点的横坐标拉伸到原来的倍(纵坐标不变)．规律提炼：一般地，函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．122ω10ω11ω填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）探究点三A(A0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响①在同一坐标系中，作出函数y＝sinx，y＝2sinx，y＝12sinx在区间[0,2π]上的图象：填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）②根据y＝sinx，y＝2sinx，y＝12sinx的图象回答下列问题：函数y＝2sinx的图象可以看作是把y＝sinx的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到，函数y＝12sinx的图象可以看作是把y＝sinx的图象上所有的点的纵坐标压缩到原来的12倍(横坐标不变)而得到．规律提炼：一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上的所有点的坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．纵A填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）探究点四由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的图象？y＝sinx的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)(ω0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将y＝sinx的图象向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ0)或向右(φ0)平移|φ|ω个单位长度，得y＝sin(ωx＋φ)的图象．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）试叙述，由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到函数y＝sin2x＋π3的图象？答方法一：(先相位变换，再周期变换)先将y＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，得函数y＝sinx＋π3的图象；再将函数y＝sinx＋π3的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得y＝sin(2x＋π3)的图象．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）方法二：(先周期变换，再相位变换)先将f(x)＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得函数f(2x)＝sin2x的图象；再将函数f(2x)＝sin2x的图象上各点沿x轴向左平移π6个单位长度，得f2x＋π6＝sin2(x＋π6)的图象，即函数y＝sin2x＋π3的图象．填一填练一练研一研本课时栏目开关几何画板演示研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）[典型例题]例1要得到函数y＝sin2x＋π3的图象，只要将y＝sin2x的图象()A．向左平移π3个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位解析因为y＝sin2x＋π3＝sin2x＋π6，所以把y＝sin2x的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象．C填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）小结已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y＝Asinωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构．②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为φω.③明确平移的方向．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）跟踪训练1要得到y＝sin2x－π4的图象，只要将y＝sin(2x＋π4)的图象()A．向左平移π2个单位B．向右平移π2个单位C．向左平移π4个单位D．向右平移π4个单位解析y＝sin(2x－π4)＝sin2x－π4＋π4若设f(x)＝sin2x＋π4，则fx－π4＝sin2x－π4，∴向右平移π4个单位．D填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）例2把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A．y＝sin2x－π3，x∈RB．y＝sinx2＋π6，x∈RC．y＝sin2x＋π3，x∈RD．y＝sin2x＋2π3，x∈R解析把函数y＝sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度后得到函数y＝sinx＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y＝sin2x＋π3的图象．C填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）小结三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x的系数不是1，需把x的系数先提出，提出后括号中的x加或减的那个数才是平移的量，即x的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）跟踪训练2把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()A．y＝sinx2＋π6，x∈RB．y＝sinx2＋π3，x∈RC．y＝sin2x＋π3，x∈RD．y＝sin2x＋2π3，x∈R解析将y＝sinx图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y＝sinx＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y＝sinx2＋π3.B填一填练一练研一研本课时栏目开关研一研·问题探究、课堂更高效1.3.1（四）例3把函数