圆柱波函数与圆球波函数

1第六章圆柱波函数和圆球波函数26.1、标量圆柱波函数和柱面波由Maxwell方程通过分离变量法可导出齐次标量Helmholtz方程。Helmholtz方程定量描述了正弦电磁波的传播特性，因而它的解称为波函数。在圆柱坐标系中，齐次标量Helmhotz方程表示式为方程的基本解称为标量柱面波函数，也即标量Helmhotz方程对应算子的本征函数。用分离变量法来求解上式22222211()0kz3222222()0dRdRknRdd2220dnd2220zdZkZdz可以得到3个独立的常微分方程式中，n为正整数（即n＝0，1，2，……）,而222zkkk4第一个为标准Bessel方程，它的解为Bessel函数。通常用来表示n阶Bessel函数。Bessel函数有多种类型()nBk第一类Bessel函数通常简称为Bessel函数，用()nJk表示，其渐近公式为2()cos()24knnJkkk第一类Bessel函数的物理意义为描述柱面驻波的波动特性下图给出了第一类Bessel函数的变化特性（图中横轴为k纵轴为）。()nJk）。5图6.1.1第一类Bessel函数的变化特性6第二类Bessel函数也称Neuman函数，用()nNk与第一类Bessel函数的关系为ncos()()N()limsinmmmnmJkJkkm其渐近公式为2()sin()24knnNkkk表示。第二类Bessel函数的物理意义为描述柱面驻波的波动特性。下图给出了第二类Bessel函数的变化特性（图中横轴为k，纵轴为()nNk）。7图6.1.2第二类Bessel函数的变化特性8第三类Bessel函数也称为Hankel函数，Hankel函数可分为两类，分别称为第一类Hankel函数和第二类Hankel函数。第一类Hankel函数用(1)()nHk来表示，其物理意义是描述柱面内行波的波动特性。它的渐近公式为()1242()njkknHkek第二类Hankel函数用(2)()nHk来表示，其物理意义是描述柱面外行波的波动特性。它的渐近公式为()2242()njkknHkek9Hankel函数也为是第一类Bessel函数和第二类Bessel函数的线性组合。其关系为(1)()()()nnnHkJkjNk(2)()()()nnnHkJkjNk当22zkk时，k为虚数，令kj，则有修正Bessel函数222222()0dRdRnRdd其解即为修正Bessel函数。10修正Bessel函数可分为两类。第一类修正Bessel函数用()nI表示，其定义为()()nnnIjJjk第二类修正Bessel函数用()nK表示，它与第一类修正Bessel函数的关系为()()()lim2sinmmnmnIIKm综上所述，齐次标量Helmhotz方程的解来表示，即为(,,)()()()nzzBkhnhkz的类型可根据具体电磁场的特征选取。()nBk11当为离散谱的情况下，齐次标量Helmhotz方程的通解为zk,(,,)()()()zznknznkzABkhnhkz当为连续谱的情况下，齐次标量Helmhotz方程的通解为zk(,,)(,)()()()zznznkzAnkBkhnhkz12图6.1.3圆柱波的传播显然，等相位面是圆柱面且波面沿方向扩展并传播。将这种传播方式的波称为柱面波。0zk0m左图画出了时波函数传播的示意图。(2)0()Hk136.2、圆球波函数与球面波在球坐标中，标量波动方程为2222222111()(sin)0sinsinrkrrrrr采用分离变量法，令得到123()()()frff2222211122()0dfdfrrkrpfdrdr222221(sin)()0sinsindfdqpfdd223320dfqfd14连带Legendre函数的表达式为22()(1)()mmmnnmdPxxPxdx21()(1)2!nnnnndPxxndx式中，为Legendre函数。与相应的另一独立解为，方程一般解可写为：()nPx(cos)mn(cos)mnQ)()()(xmnxmnxBQAPP15令，则11()()frvrkr()vr满足：222221[()]02dvdvrrkrnvdrdr这是一个半奇数的Bessel方程，其解为1121()()nfrkrkr16定义球Bessel函数为12()()2nnz12()()2nnjJ12()()2nnyy(1)(1)12()()2nnhH(2)(2)12()()2nnhH17对于球内的散射场，可取基本波函数为()(cos)mjmnnjkre对于球外的散射场，可取基本波函数为(2)()(cos)mjmnnhkre同样，可以由基本波函数的迭加来表示任意波场()(cos)mjmmnnnmnCzkre18球Bessel函数的物理意义与Bessel函数的物理意义相似零阶球Bessel函数有简单的表达式为0sin()xjxx0cos()xnxx(1)0()jxehxjx(2)0()jxehxjx高阶球Bessel函数也有显明的初等函数表达式。19显然，电磁场沿r方向以球的中心向外传播，是球面状传播（辐射），将这种波称为球面波。图6.2.1球面波的传播20在球坐标系下讨论矢量波函数及其所对应的矢量球面波在以点源为坐标原点的球面坐标系中，波矢量总是与矢径r同向，并且各场量仅与矢径大小有关。22222221()()[]()2()1=[()]rrrrrrrrrrrrrrrEEEEE矢量拉普拉斯算符简化为kr21Helmhotz方程简化为：222[()][()]0rrkrrrEE矢量方程的解应具备有如下两种可能形式：0()ikrrerEE*0()[()]ikrrerrEEE前式描述的是一个自源点向外的球面波，后式描述的则是一个向源点会聚的球面波。两个球面波的复振幅（相位）互为共轭。该球面波如下图所示：22图6.2.2发散球面波图6.2.3汇聚球面波236.3.1、柱坐标中光纤的波方程光纤是圆柱状的介质光波导，它约束并引导光波在其内部或表面附近沿着其轴线方向向前传播。光纤主要由纤芯和包层组成。纤芯和包层由透明介质材料构成（一般为石英玻璃），但两者的折射率不同。大多数光纤的折射率n都是轴对称的，因而使用柱坐标系统是适合的。22()0zzEkH对于场矢量中z分量的波方程为24是由下式给出的拉普拉斯算子22222222211rrrrz由于我们关心的是沿着波导传播，因而假设(,)(,)exp(,)(,)titztErErHrHr也就是，场矢量的每个分量假设为eitz中都和z、t相关。25用柱坐标分量写的Maxwell旋度方程为rzz1E=+E=11E=+()rzriiHHriiHHriHrHrrr111()rzrzzriHiEEriHiEEriHErErrr26综合上式，用z分量表示其他分量可得：这些式子揭示了只要确定了z分量，其他分量也就可以得到了，波方程也就唯一确定了。2222()()rzzzziEEHrriEEHrr2222()()rzzzziHHErriHHErr27波方程式可以变形为：22222211()0zzEkHrrrr此方程式可分离的结果为()exp()zzErilH从而上式的波方程变为：2222221()0lkrrrr28上面得到的波方程是Bessel微分方程，其结果称为l阶的Bessel函数。其一般结果为：12()()()llrcJhrcNhr222hk式中如果220k，则一般结果为220k时12()()()llrcIqrckqr222qk式中29模式是光纤中波传播的一种极为重要的形式，光纤中的模式可以看成光场在光纤截面上的分布图。波动理论是一种严格的分析方法。采用波动方程来分析光纤中的光波传输时，首先要求出纵向场分量，然后再求出光场的其它分量。在的覆盖层受约束模式的场可由如下式表示ra(,)()exp[()]zlErtCKqritlz(,)()exp[()]zlHrtDKqritlzq由此式给出：2222200qnkkc其中＝30对于核心中场，由以下式给出ra(,)()exp[()]zlErtAJhritlz(,)()exp[()]zlHrtBJhritlzh由此式给出：222210hnk式中A和B为两个任意常数要求即这是受约束模式存在的必要条件。2200hq且1020nknk31利用上面的纵向场分量就能计算包层和核心区域这两部分内的所有场分量。核心()ra'2[()()]exp[()]rlliilEAhJhrBJhritlzhr''2[()()]exp[()]lliilEAJhrBhJhritlzhr326.3.2、光纤中的模式分布'12[()()]exp[()]rlliliHBhJhrAJhritlzhr'12[()()]exp[()]lliilHBJhrAhJhritlzhr()exp[()]zlEAJhritlz()exp[()]zlHBJhritlz20k33包层()ra'2[()()]exp[()]rlliilECqKqrDKqritlzqr'2[()()]exp[()]lliilECKqrDqKqritlzqr()exp[()]zlECKqritlz'22[()()]exp[()]rlliliHDqKqrCKqritlzqr'22[()()]exp[()]lliilHDKqrCqKqritlzqr()exp[()]zlHDKqritlz34由场应该满足的边界条件可以得到下列方程()()0llAJhaCKqa''22[()][()][()][()]0llllililAJhaBJhaCKqaDKqahahqaq()()0llBJhaDKqa''12222[()][()][()][()]0llllililAJhaBJhaCKqaDKqahahaqqa35最后一个式子中，和的素数分别对应于和，要使该式由一个非零解，由这些系数行列式为零产生了如下的决定传播常数的色散方程''2'2'222220()()()()()()()()()()11[()()]()lllllllllJhaKqanJhanKqa