高中数学 2.3.1《离散型随机变量的均值与方差-期望值》课件 新人教A版选修2-3

2.3.1《离散型随机变量的均值与方差-期望值》学习目标1.了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．2.理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～B（n,p），则E（ξ）=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望教学重点：离散型随机变量的期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望。前面,我们认识了随机变量的分布列.离散型随机变量的均值与方差(一)设离散型随机变量可能取的值为12,,,,,ixxx1x2xixP1p2pip为随机变量的概率分布列，简称为的分布列.取每一个值的概率则称表()iiPxp(1,2,)ixi对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中，我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差.阅读教材P60，回答思考题。根据定义可推出下面两个结论:数学期望的定义:一般地，随机变量的概率分布列为X则称1122XiinnExpxpxpxp为的数学期望或均值，简称为期望.X它反映了离散型随机变量取值的平均水平.P1x2xnx1p2pnpXixip结论1：则;,ab若EaEb结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np.()(),1,2,3iiPaxbPxi所以，的分布列为1122112212(()()(())))(nnnnnEaxbpaxbpaxbpaxpxpxpbpEabaEppaEbb即结论1：则,ab若EaEbP1axb2axbnaxb1p2pnpiaxbip练习一1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.2、随机变量ξ的分布列是2.4(2)若η=2ξ+1，则Eη=.5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=b=.0.40.12.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分ξ的期望为．练习二1.（1）若E(ξ)=4.5,则E(－ξ)=.（2）E(ξ－Eξ)=.0.7(详细解答过程见课本例1)-4.50这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那么一般地,若ξ~B(n，p)，则Eξ=?这是一个两点分布随机变量的期望∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=npξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np期望在生活中的应用广泛,见课本第62页例2.例3不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是和η,则ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)，所以Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ和5η.这样，他们在测验中的成绩的期望分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么?思考1.某商场的促销决策：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月6日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布列P10－40.60.4所以E=10×0.6＋(-4)×0.4=4.4因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销.思考2.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这场赌博对你是否有利?11111030.6236E对你不利!劝君莫参加赌博.例题3P63独立完成。课外思考:彩球游戏准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元你动心了吗?六.摸彩中奖问题一个布袋内装有6个红球与6个黄球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红赢得100元5红1黄赢得50元4红2黄赢得20元3红3黄输100元2红4黄赢得20元1红5黄赢得50元6个全黄赢得100元其中只有一种情况输，而对于其它六种情况你均能赢得相应的钱数，而不用花其它的钱。摸奖人赢钱的期望有多大？设ξ为赢得的钱数,则ξ的分布列如下:666122CC51666122CCC42666122CCC1462677所以每摸一次，平均输掉29.34元680029.34231E解:ξ1005020-100p751543366612CCC100231北京广州322141如图,广州到北京之间有6条不同的网络线路并联,它们能通过的最大信息量分别为1、1、2、2、3、4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,三条网线可通过的信息总量即为三条网线各自的最大信息量之和.(1)求选取的三条网线可通过信息总量ξ的数学期望;(2)当ξ≥6时,则保证信息畅通,求线路信息畅通的概率;(3)2008年北京奥运会,为保证广州网络在ξ≥6时信息畅通的概率超过85%,需要增加一条网线且最大信息量不低于3,问增加的这条网线的最大信息量最少应为多少?ξ456789P3612CC36121CC3612121CCC3612121CCC36121CC3612CC202203205205203202解:ξ的分布列为213202920382057205620352024)1(E435416)2(PPP4.%15355154,4%1535654,3%15)3(,)3(37123712''3712123712''最少应为可以时当不可以时当不畅通的概率应低于信息量为设这条新增网线的最大CCCCPPaCCCCCPPaaa(3)2008年北京奥运会,为保证广州网络在ξ≥6时信息畅通的概率超过85%,需要增加一条网线且最大信息量不低于3,问增加的这条网线的最大信息量最少应为多少?北京广州322141学习小结:1、本节课学习了离散型随机变量ξ的期望及公式：（1）E(aξ+b)=aEξ+b;（2）若ξ～B（n,p），则Eξ=np2、会根据离散型随机变量的分布列求出期望。概率核心,难点分清问题实质，列出对应分布列，解决问题!二项分布分布列一般分布期望应用