5.2-二阶系统的定性分析

本节首先详细讨论相平面上线性系统平衡点的分类,其次描述有界轨道极限集合的结构,最后介绍有关相平面上极限环的一些基本知识.5.2二维系统的定性分析一、二维常系数线性系统平衡点的分类考察二维线性系统5.2.1xAxdet0,A0,0.Tx其中A为二阶常实阵,且由此即见(5.2.1)有惟一的平衡点为讨论平衡点附近轨道的性质，我们通过相空间坐标的线性变换来简化方程.且设它们是不相等的实数，则存在两个线性无关的右实特征向量120,0.12,,vv111222,,AvvAvv设矩阵A的两个特征值为使得12,,Tvv12,,Jdiag.ATTJxTy将这两个线性无关的右实特征向量组成矩阵并记对角阵则可写成矩阵形式于是可作线性变换,xTyAxATy1.yTATyJy12,,Tyyy记则有111222,.yyyy于是方程化为即得方程1020,Tyy12110220,;5.2.2ttytyeytye1y2y211220102010,0,0.5.2.2yyyyyy211,由于2121,yy方程组在t=0时过点的解为可见正负半轴，正负半轴是四条轨线，还有原点是轨线，除了这特殊的五条轨线外，其他的轨线可以从(5.2.2)中消去变量t得到,轨线的方程为：可见这些轨线都相似于轨线所以在画轨线(5.2.2)*时，只要画一条轨线，然后根据对称性和相似性可画出其他轨线.21决定,轨线的走向由特征值的正负来决定.注：轨线的形状由比值以下分几种情况来讨论.情况1:两特征值为同号但不相等,不妨设211,除了特殊的五条轨线（它们是平衡点和四条在原点的切线方向为特征方向的轨线)，其他的轨线是(广义的)抛物线.除平衡点外,有两条特殊的轨线,它们在平衡点的切线方向是绝对值较小的特征值对应的特征方向,而其它轨线在平衡点的切线方向都与绝对值较大的特征值对应的特征方向相同,其邻域内具有这样性态轨线的平衡点称为结点(node).当两个特征值均为负数时,上述结点为渐近稳定的.我们称这样的结点为渐近稳定.情况2.两特征值异号，不妨设211,除了特殊的五根轨道外(它们是平衡点和四条在原点的切线方向为特征方向的轨线)，其他轨道是（广义的）双曲线，轨线的分布类似于马鞍面的等位线,故称这种平衡点为鞍点(saddlepoint).鞍点是不稳定的.一般的非常系数的二维自治系统的鞍点的定义:若在平衡点的邻域中有且只有有限条在平衡点相切的轨线.当两个特征值均为正实数时，上述结点是不稳定的,从而其对应的平衡点称为不稳定结点.3.,AIx0情况在t=0时经过点的解为00expexp,xAtxtx奇结点的稳定性由的正负号决定:00这种在平衡点的任意方向都有轨线在平衡点相切,这种平衡点称为奇结点,也称为星形结点.时为渐近稳定奇结点,时为不稳定奇结点.12,,AI且情况4.0x这时任何方向都是特征方向,除了平衡点外,其他的轨道为从平衡点出发,方向为任意的(不包括平衡点)的射线1,v12,,vv12,,Tvv取21,AIvv,ATTJ1.0J这时只有一个特征方向但存在广义实特征向量串使得则有其中,xTy,xTyAxATy1yTATyJy于是可作线性变换方程化为即得方程11222;,yyyyy11221exp,exp,5.2.3ytctctytct12其中c,c为任意常数.(5.2.1)变成其解为1y1212ln.yyyc除了三条特殊的轨道（原点和正负半轴）外，消去(5.2.3)中的t,得其他的轨线方程:1,2,0.i为一对共轭虚根情况5.当0时,,i0;我们可以选取其中的一个特征值使得当0时,,i0.可以选取其中的一个特征值使得除了平衡点外,在平衡点的邻域所有轨线在平衡点处的切线方向都相等(在此为轴方向,对于原方程,这方向就是特征方向1y1v当0时,当0时,),具有这种性质的平衡点称为退化结点,平衡点为渐近稳定的退化结点.平衡点是不稳定的退化结点.12,vviv12,vv1212.Aviviviv112212,;AvvvAvvv.ATTJ即12.,.JJTvv其中为实矩阵,设对应的特征向量为其中必都为非零实向量，于是令其实部与虚部分别相等，得12vv和下面证明是线性无关的:2,vcv1111,AvAvicivic11,Aviv即证:反证法,若不然,则存在非零实常数c使于是得矛盾因为等式左边是实向量，而等式右边是虚向量),证毕.,xTy,xTyAxATy1yTATyJy112212,;5.2.4yyyyyy因此T是非奇异的矩阵.于是可作线性变换方程化为即得标准的实方程即12cos,sin,yryr2,.rrr00exp,,5.2.4rtrttt利用极坐标变换,即令代入(5.2.4)得由此即得(5.2.4)的极坐标形式通解00其中r0,均为任意常数.exp,0,5.2.5rcc消去变量t,得轨道方程:0当时,0当时,0当时,这种当t趋向正无穷大或负无穷大时,平衡点的邻域中的轨道盘旋地趋于平衡点,这样的平衡点称为焦点(focus).平衡点称为渐近稳定焦点;平衡点称为不稳定焦点.由(5.2.5)即见r为常数,0从(5.2.5)即可看出,除平衡点外,当时,(5.2.4)的轨道是对数螺旋线,000当时,0当时,从(5.24)*可见,当时顺时针盘旋,当时逆时针盘旋.随着t增大，轨道上的点盘旋地远离平衡点,随着t增大，轨道盘旋地趋于平衡点.综上所述,可得如下定理：定理5.2.1如果二维常系数实线性系统(5.2.1)的系数矩阵是非奇异的,则系统的平衡点将根据特征方程的根的性质而分别具有下列的不同特性：因此轨线是以平衡点为中心的闭轨(在此是圆,对于原方程而言一般是椭圆).这种在平衡点的邻域充满闭轨的平衡点称为中心(centre).中心是稳定的但不是渐近稳定的.121201010120,当时为实根,则当时平衡点为结点,且当时结点是渐近稳定的,当时,平衡点为不稳定的;平衡点为鞍点,鞍点是不稳定的.(i)如果特征值,AI10,当时10,当时(ii)如果特征值为重根,则当矩阵A不是数量矩阵时平衡点为退化结点,不然,平衡点为奇结点.这两类结点均为渐近稳定的;平衡点不稳定.例5.2.1判定系统x'=x+2y,y'=-2x+5y平衡点类型和稳定性.解特征方程26903,有二重根而系数矩阵不是数量矩阵,因此平衡点为不稳定退化结点.,0,i0000当时平衡点为焦点,且当时此焦点是渐近稳定的,而时,平衡点是不稳定的;时,平衡点为中心,平衡点是稳定的但不是渐近稳定的.(iii)如果特征值为共轭虚根,即当二、二维系统轨道极限集合的结构和极限环本身就是一条闭轨,或者它的,t时有界,且不含有平衡点,则是一条闭轨L,且当盘旋逼近于L.定理5.2.2(Poincar\'e-Bendixson)若二维系统(5.2.6)的轨道,,,,5.2.6xPxyyQxy,若为系统的一条有界轨道其中P,Q在相平面上连续可微,从而保证(5.2.6)的解由初值所惟一确定.假设(5.2.6)所有的轨道构成一个动力系统.则其的结构是怎样？讨论二维定常系统最多只包含有限个平衡点;则下列三种情形之一成立：,t时,t时,tt和时定理5.2.3若二维系统(5.2.6)的非闭轨道有界,且由惟一的一个平衡点q组成;当趋于q;由一条闭轨L构成;当盘旋地逼近于L;是由有限个平衡点和一些极限轨道构成,当这些极限轨道都各自分别趋于这些平衡点当中之一.(ii)(iii)(i)的内域G内,都至少含有一个平衡点.定理(Bendixson)5.2.4二维系统在任何一个闭轨-极限集或-极限集，则称这个闭轨为极限环.定义:若一个闭轨是另一轨道的.的邻域的轨道分布和走向，有如下几种情况：关于二维系统的闭轨时，盘旋趋向闭轨的某一内侧环形邻域内的轨道都是非闭轨，且都以为它们的公共t.(b)内稳定环从闭轨极限轨道,即的某一外侧环形邻域轨道的轨道都是非闭轨，且都以t(c)外不稳定环从闭轨为它们的公共极限轨道,即时，盘旋趋向闭轨.的某一外侧环形邻域内的轨道都是非闭轨，且都以时，盘旋趋向闭轨t.为它们的公共极限轨道,即(a)外稳定环从闭轨我们称内外都稳定的环为稳定的极限环，称内外都不稳定的环为不稳定的极限环，称一侧稳定另一侧不稳定的环称为半稳定极限环.的某一内侧环形邻域轨道的轨道都是非闭轨，且都以t.(d)内不稳定环从闭轨为它们的公共极限轨道,即时，盘旋趋向闭轨(e)外周期环闭轨有某一外侧环形邻域为闭轨所充满.有某一内侧环形邻域为闭轨所充满.的任意小外侧环形邻域内既有闭轨也有非闭的轨道.(f)内周期环闭轨(g)外复合环在(g)内复合环在的任意小内侧环形邻域内既有闭轨也有非闭的轨道.21,1.rrr代入(5.2.7)得极坐标下的微分方程：1,,rtc2coscos(),sinsin().xtcytc它有解在原坐标下是一个最小正周期为的周期解.对应的轨道是闭轨，是圆心在原点的单位圆221.xy解为了研究这个系统极限环的存在性,考虑相空间的直角坐标(x,y)到极坐标,rcos,sin,xryr的坐标变换:22221,1;5.2.7xyxxyyxyxy例5.2.2给定二维系统试讨论其极限环的存在性,若存在找出它并且确定其稳定性.现在可以证明这个闭轨是方程惟一的闭轨.反证法:若有另一个闭轨,由于不同的轨道不相交,这个闭轨只可能有三种情况.1.在圆r=1外，但不包围圆r=1;2.在圆r=1外，包围圆r=1;3.在圆r=1内.首先，第一种情况是不可能的，因为根据定理5.2.4，这闭轨将包围一平衡点，这与方程只有一个平衡点矛盾.200200.rrrdt因此第二种情况也是不可能的.再看第二种情况，这时在r=1外的闭轨r1,从方程看到在这闭轨上r'0,因此我们如果沿着闭轨的一周求积分得如下矛盾.在第三种情况的闭轨上r'0，同理可证不存在其他闭轨.因此，本例的系统存在惟一的闭轨r=1,是极限环.而且从环r=1的内外侧r'的正负性可知r=1是不稳定的极限环.对于一般的二维非线性系统，并不是总可以用极坐标变换来求出极限环的，因此下面介绍一个判断极限环的存在性定理12,所围成的闭环域D它满足如下条件：定理5.2.5(Poincar\'e-Bendixson环域定理)对于系统(5.2.6),若在区域G内存在由两条简单闭曲线在12121(i)的内域;和外边界相交的轨道都在t增加(减小)时从D的外部进入它的内部;则在D内至少存在一个外侧稳定（不稳定）环和一个内侧稳定(不稳定)环(这两个环可能都是极限环，也可能重合成一个稳定(不稳定)极限环),它(们)包围D的内边界在其内部.(ii)D上不含有平衡点;(iii)所有与D的内边界,,ll1证明：反证法.若不然，任取经过边界的一条轨道在t增加(减小)时从D的外部进入它的内部,考虑它的极限集它必位于闭