电力变压器铁心柱截面的优化设计

1电力变压器铁心柱截面的优化设计摘要本文研究的是电力变压器铁心柱截面优化设计的问题。当铁心柱的外接圆直径为650毫米的时候，结合已知的级数选择表，可将级数的范围定在12～14级。为简便计算，这里假设叠片系数为1，则铁心柱的有效截面积可认为近似等于各级的几何截面积之和，记为S。则只要讨论12～14级下S的最大值问题，通过建立非线性整数规划模型，并运用Lingo软件求解。得到的运行结果是，当级数在14级的时候，铁心利用率最大为96.66%，即此时其有效截面积最大为320739.8mm2。问题二是先通过适当增加铁心柱外接圆的直径，来优化铁心截面设计，再在此基础上设计出线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径二者各自的公差带。结合问题一，建立规划方程，运用Lingo软件解得直径增加的最佳值为4mm。通过分析将线圈筒与铁心柱的关系确定为孔与轴的关系，将优化后的直径值654mm取为基本尺寸，基准值定为基孔制，运用国际孔与轴的基本偏差表的数据及计算公式建立模型并求解，得到的结果为（以公差等级6为例）：线圈内筒的公差带是mmmm120.654~071.654，铁心柱外接圆的公差带是mmmm049.654~654.问题三是要分别针对问题一、问题二给出增加油道后铁心柱的设计及相应的油道位置，根据题给的冷却油道数的选择表，可确定半圆中油道的个数为2。针对问题一，考虑到被油道分割的五个部分的面积要近似相等，建立目标规划模型，运用Lingo软件，解得半圆中油道的位置在1～2级和4～5级之间，并此基础上结合第一问中的思路设计出此时的铁心柱截面积；针对问题二，为了使铁心率尽可能的大，结合第二问的思路，得到铁心率值最大时的外接圆的半径值为337.3，求出相应公差带。在直径为674.6时，通过建立非线性整数规划模型比较分析油道在不同级之间，分割面积的相似度，得出此时油道在半圆的位置为1～2级和4～5级之间。关键词：非线性整数规划模型Lingo软件基孔制目标规划模型2一、问题的提出1.1背景电力变压器的设计中很重要的一个环节就是铁心柱的截面如何设计。我国变压器制造业通常采用全国统一的标准铁心设计图纸。根据多年的生产经验，各生产厂存在着对已有设计方案的疑问：能否改进及如何改进这些设计，才能在提高使用效果的同时降低变压器的成本。现在以心式铁心柱为例试图进行优化设计。电力变压器铁心柱截面在圆形的线圈筒里面。为了充分利用线圈内空间又便于生产管理，心式铁心柱截面常采用多级阶梯形结构。截面在圆内上下、左右均轴对称。阶梯形的每级都是由许多同种宽度的硅钢片迭起来的。由于制造工艺的要求，硅钢片的宽度一般取为5的倍数（单位：毫米）。因为在多级阶梯形和线圈之间需要加入一定的撑条来起到固定的作用，所以一般要求第一级的厚度最小为26毫米，硅钢片的宽度最小为20毫米。在设计时希望铁心柱的有效截面积即多级铁心柱的几何截面积（不包括油道）乘以叠片系数尽量大，这样既节省材料又减少能量损耗。显然铁心柱的级数愈多，其截面愈接近于圆形，在一定的直径下铁心柱有效截面也愈大。但这样制造也工艺复杂。1.2需要解决的问题一：当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大。二：实际生产中线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径不是精确地相等，而留有一定的间隙以便于安装和维修，设计的两个直径的取值范围称为各自的公差带。因此可以在设计铁心截面时稍微增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状。请结合铁心柱截面的设计而设计出二者的公差带。三：铜导线在电流流过时发热造成的功率损耗简称为铜损；铁心在磁力线通过时发热造成的功率损耗简称为铁损。为了改善铁心内部的散热，铁心柱直径为380毫米以上时须设置冷却油道。简单地说，就是在某些相邻阶梯形之间留下6毫米厚的水平空隙，空隙里充满油，变压器工作时油上下循环带走铁心里的热量。而油道的位置应使其分割的相邻两部分铁心柱截面积近似相等。分别针对问题一和问题二的情况，增加油道,要求再给出设计，并指出油道的位置。二、基本假设2.1问题一的基本假设1、叠片系数为1，即不考虑绝缘漆膜厚度，硅钢片完全平整，之间没有任何缝隙；2、硅钢片的宽度取为5的倍数（单位：毫米）；3、讨论的是心式铁心柱结构；4、各级宽度逐级递减；5、各级厚度之和等于硅钢片的最长长度，近似认为是铁心柱外接圆的直径；2.2问题二的基本假设1、铁心柱与线圈筒是间隙配合；2、配合规定为基孔制；3、孔与轴不属于同一级别，孔比轴高一级；34、孔的基本偏差代号为H；2.3问题三的基本假设1、针对问题一求解时，铁心柱的外接圆直径为mmd650=；2、油道的厚度mm6不可忽略，且成水平方向平整；3、n级油道的宽度近似等于1+n级硅钢片宽度；4、油道的分布上下对称；5、铁心柱的级数为14；6、面积差在20000内看作近似相等；三、符号说明ix第i级宽度的一半),...,2,1(ni=ES孔的上偏差iy半圆中第i级的厚度),...,2,1(ni=EI孔的下偏差iS各级面积),...,2,1(ni=es轴的上偏差S铁心柱截面积ei轴的下偏差r外接圆半径I公差单位d铁心柱截面外接圆直径k公差值IT标准公差qp,油道的级数，且qpG基本尺寸分段的计算尺寸ib半圆中第i级截面的面积；)14...,3,2,1(=ir∆铁心柱外接圆半径变化范围j铁心的截面率四、模型的建立与求解4.1.1问题一的分析：问题一要解决的是当铁心柱外接圆直径为650毫米时，如何确定铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度，才能使铁心柱的有效截面积最大的问题。为此，我们可以通过分析铁心柱的有效截面积与铁心柱截面的级数、各级宽度和厚度间的关系，建立非线性整数规划模型【1】，在此基础上运用Lingo软件编制相关程序求解。4.1.2模型一的建立：铁心柱的有效截面积的计算：ix为第i级宽度的一半),...,2,1(ni=，iy为半圆中第i级4的厚度),...,2,1(ni=，由于假设叠片系数为1，则铁心柱的有效截面积可认为近似等于其多级的几何截面积之和，由于截面在圆内上下、左右均轴对称，故铁心柱的有效截面积)2...2(222...22221121nnnyxyxyxSSSS++×+=+++=，即iniiyxS∑==14iy与ix的关系：铁心柱各级的宽度的一半：（1x，2x，3x，…,nx），半圆中铁心柱各级的厚度：（1y，2y，3y，…,ny），在截面优化时各级片宽尺寸的尾数一般取0或者5，根据每级片宽可以计算出对应的叠厚。由于实际的叠厚必须为硅钢片厚度的整数倍，因此控制铁心给定直径外限是必要的【2】。现控制铁心给定直径外限为0，如下图1（O为圆心），1x2x1y2yrrOABCD图1图1（左圆）中1x=OA，2x=DC，1y=AB,2y=BC,OD=1y+2y,OC=OB=r（r为圆的半径），则在OABRt∆中，由勾股定理可得22121ryx=+,即212121)(xry−=,同理在OCDRt∆中,由勾股定理可得222221)(rxyy=++,则1212222)(yxry−−=,依次类推可得iy与ix的关系为)...,3,2,1()(112122niyxryikkii=−−=∑−=5由此我们得到非线性整数规划模型：maxiniiyxS∑==14..ts55iixx=⎥⎦⎤⎢⎣⎡261≥y20≥nxnxxx≥≥≥…21)...,3,2,1()(112122niyxryikkii=−−=∑−=当铁心柱外接圆直径为650毫米,n的取值根据题给的数据(如下表1)可知，是在12—14级的范围内铁心柱截面级数的选择铁心柱直径mm级数80-1955-7200-2658-10270-39011400-74012-14760以上15表1%100%1002×=×=rSπ外接圆的面积铁心的有效截面积记铁心的利用率,运用MATLAB编制相应的程序(程序见附录I),可得出在当级数分别为14（见表2）、13（见表3）、12（见表4）级时的宽度ix、厚度iy（半圆）、铁心的有效截面积S及铁心的利用率,结果如下当级数为14时第i级1234567宽度ix2640625600575545515480厚度iy56.832.535.726.625.621.020.96第i级891011121314宽度ix2440395350300245180105厚度iy20.118.915.814.512.711.38.0铁心柱的有效截面积S为320739.8，铁心利用率j为96.66%表2当级数为13时第i级1234567宽度ix2640620595565535500460厚度iy56.840.833.229.823.923.122.0第i级8910111213宽度ix2415365315255190110厚度iy20.518.815.414.711.99.5铁心的有效截面积S为：319920.9，铁心利用率j为96.41%表3当级数为12时第i级123456宽度ix2640620595565530490厚度iy56.840.833.229.827.525.4第i级789101112宽度ix2445395340275205120厚度iy23.421.218.917.513.911.0铁心的有效截面积S为：318927，铁心利用率j为96.11%表47故通过上面三张表中结果的比较可知，在铁心柱外接圆直径为650毫米时，当级数为14级，各级的宽度及厚度取值如下，才能使铁心柱的有效截面积最大。当级数为14时第i级1234567宽度ix2640625600575545515480厚度iy56.832.535.726.625.621.020.9第i级891011121314宽度ix2440395350300245180105厚度iy20.118.915.814.512.711.38.0铁心柱的有效截面积S为320739.8，铁心利用率j为96.66%4.2.1问题二的分析：问题二要求我们结合铁心柱截面的设计而分别设计出线圈的内筒直径和铁心柱的外接圆直径二者的公差带。1、优化铁心截面的设计，即为使得铁心柱有更好的截面形状，求出铁心柱的外接圆直径的增加范围。在问题一的基础上，列出规划方程，并运用Lingo软件求解即可得到优化后的截面设计。2、通过分析可以认为线圈筒与铁心柱的关系在机械上等价于孔与轴的关系。首先，结合优化后的铁心柱截面设计，将其外接圆的直径定为孔与轴的基本尺寸【3】，其次，确定孔与轴的配合类型，根据题意以及相关资料,可以将该题的孔与轴的关系确定为基孔制[3]，同时根据题目给出的条件“留有一定的间隙以便于安装和维修”，以及相关资料对间隙配合特性的描述，将该题孔与轴的配合关系确定为间隙配合【3】；再者，确定公差等级，因为没有严格的计量方法来定该题的公差等级，根据相关资料对各个等级的定性描述，对公差等级为5～8级的范围进行分析；根据各自的公差等级来计算不同基本尺寸下的公差值；最后，通过查基本尺寸处于不同范围下的“国际孔与轴的基本偏差表（见附录II）”分别得到孔与轴在表中的偏差值，再根据孔的基本偏差和标准偏差，运用公式ITeies+=或ITesei−=计算它的另一个偏差,同理根据轴的基本偏差和标准偏差，运用公式ITEIES+=或ITESEI−=计算得到另一偏值【3】为了对概念有更清晰的认识，绘图如下84.2.2模型二的建立及求解（1）优化铁心柱的截面形状根据题意，增加铁心柱的外接圆的直径以使得铁心柱有更好的截面形状，即通过增加铁心柱外接圆的半径r∆来增加铁心利用率j。问题一中已经求解得到，当直径为mm650时，%658.96=j,因此要求得一个r∆的取值范围，使得此时%685.96j，由此得到规划方程：)max(rr∆+55..iixxts=⎥⎦⎤⎢⎣⎡261≥y20≥nxnxxx≥≥≥...2196685.0)(221∆+÷=∑=rryxjiniiπ[])...,3,2,1()(112122niyxrryikkii=−−∆+=∑−=通过Lingo软件（程序见附录V）得到运行结