搜索
第四节直线、平面平行的判定及其性质考纲概述考查热点考查频次备考指导以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系的简单命题.直线与平面平行的判定与性质★★★★直线、平面平行的判定及其性质是高考中的考查热点,常在解答题的第一问中出现,涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质等.平面与平面平行的判定与性质★★1.直线与平面、平面与平面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言直线与平面平行的判定平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.a⊄α,b⊂α且a∥b⇒a∥α平面与平面平行的判定一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒β∥α2.直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言直线与平面平行的性质一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b平面与平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b3.常用的数学方法与思想构造法、转化与化归思想、数形结合思想.1.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是()A.α内所有的直线都与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内所有的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点1.D【解析】直线a不平行于平面α,包括直线a与平面α相交或a⊂α.2.下列命题中正确命题的个数是()①一条直线和另一条直线平行,那么它和经过另一条直线的任何平面平行;②一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行;③若直线与平面不平行,则直线与平面内任一直线都不平行;④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行.A.0B.1C.2D.32.B【解析】①这条直线可能在这个平面上,所以错误;②显然正确;③若直线与平面相交,则与这个平面内任意一条直线都不平行;若直线在平面内,则与这个平面内无数条直线平行,所以错误;④这条直线也可能在平面内,所以错误.3.已知m,n为异面直线,m∥平面α,n∥平面β,α∩β=l,则l()A.与m,n都相交B.与m,n中至少一条相交C.与m,n都不相交D.与m,n中一条相交3.C【解析】∵m∥平面α,n∥平面β,∴m与平面α没有公共点,n与平面β没有公共点,又∵α∩β=l,∴l⊂α,l⊂β,∴l与m,n都不相交.4.若M,N分别是△ABC边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面β的位置关系是.4.MN∥β或MN⊂β5.【解析】连接ED交AC于点O,连接OF,因为AECD为菱形,OE=OD,F为B1D的中点,所以FO∥B1E.因为FO⊂平面ACF,B1E⊄平面ACF,所以B1E∥平面ACF.考点1与直线、平面平行相关命题真假的判定典例1设m,n为空间两条不同的直线,α,β为空间两个不同的平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若a∥α,b⊂α,a⊂β,b⊂β,则a∥b;③若m∥α,m∥n,则n∥α;④若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a,b没有交点.其中的正确命题序号是()A.③④B.②④C.①②D.①③【解题思路】利用相关定理逐一判断.若m∥α,m∥β,则α,β平行或相交,①错误;由线面平行的性质定理可知②正确;若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,③错误;由面面平行的性质可知a,b平行或异面,④正确.【参考答案】B与平行有关的命题的判定技巧线线平行、线面平行和面面平行是空间平行关系的三种类型,熟悉任意两种平行相互转化的定理、结论是判定命题真假的依据,同时注意公理4的应用.【变式训练】(2015·宁波十校联考)已知直线m和平面α,β,则下列结论一定成立的是()A.若m∥α,α∥β,则m∥βB.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,m∥α,则n∥αD.若m⊂α,α∥β,则m∥βD【解析】若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,A错误;若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α与β平行或相交,B错误;若m∥n,m∥α,则n∥β或n⊂β,C错误;由面面平行的性质可知D正确.考点2直线与平面平行的判定与性质命题角度1:直线与平面平行的证明典例2(2015·山东高考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.求证:BD∥平面FGH.【解题思路】可通过作辅助线证BD与平面FGH中的一条直线平行,或通过证BD所在平面ABED与平面FGH平行,皆可证BD∥平面FGH.【参考答案】解法1:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.解法2:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点.所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.线面平行的证明方法(1)线面平行的判定定理:寻找线线平行,找中点是常用方法,找出中点后,利用三角形中位线、平行四边形的判定与性质等寻找线线平行.(2)面面平行的性质:先寻找面面平行,则在其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面.【变式训练】(2015·四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)证明:直线MN∥平面BDH.典例3如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于点F.证明:EF∥B1C.【解题思路】本题考查空间线线、线面以及面面平行关系的转化、二面角的求解.通过正方体的切割体为载体加以考察.注意把原正方体还原出来,再通过综合法或向量法求解证明.【参考答案】由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC,所以四边形A1B1CD为平行四边形,从而B1C∥A1D,又A1D⊂平面A1DE,B1C⊄平面A1DE,于是B1C∥平面A1DE.又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,所以EF∥B1C.线面平行的性质定理与判定定理的关系直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用,要弄清定理的条件和结论,防止错用,它们有如下关系:利用判定定理实施线线平行向线面平行的转化,利用性质定理实施线面平行向线线平行的转化.【变式训练】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,A1D1,C1D1的中点(如图).若P是A1B1上的一点,BP∥平面ECF,求A1P∶A1B1的值.考点3平面与平面平行的判定与性质【解题思路】(1)证明平面A1BD上的两条相交直线平行于平面CD1B1,再由面面平行的判定定理即可证明;(2)利用柱体的体积公式求解.面面平行的判定定理的应用平面与平面平行的判定定理是证明面面平行的重要工具,由判定定理可知,要证明平面与平面平行,只要证明一个平面上有两条相交直线都平行于另一个平面.由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于一个平面后,转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.【变式训练】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.【解析】∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP,而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.又∵ABCD为平行四边形,BC∥AD,∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴平面MNQ∥平面PBC.