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第三节函数的奇偶性与周期性考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解函数奇偶性的含义,并能运用奇偶性的含义判断一些简单函数的奇偶性;(2)掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题;(3)了解函数周期性的含义,能根据函数的周期性将给定自变量转化到已知区间内解决问题.奇偶性的含义与判断★★★★函数的奇偶性与周期性在高考中占有重要的地位,在命题时主要是与函数的概念、图象、性质等综合在一起考查.题型以选择题与填空题为主,数形结合是解决此类问题的重要工具.利用周期性含义求函数值★★函数的奇偶性、对称性及周期性的综合应用★★★★1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数;关于原点成中心对称偶函数一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数;关于y轴成轴对称2.函数的周期性(1)周期函数:若f(x)对于定义域中任意x均有f(x+T)=f(x)(T为不等于0的常数),则f(x)为周期函数,T是这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.3.函数的奇偶性与周期性的常用结论表奇偶性周期性(1)若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0)(2)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性一致;若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性相反若f(x+a)=1f(x),则T=2a(a0)(3)若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),反之也成立若f(x+a)=-1f(x),则T=2a(a0)4.函数的对称性与周期性的关系(1)若函数f(x)关于直线x=a,x=b(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=2(b-a).(2)若函数f(x)关于点(a,0),(b,0)(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=2(b-a).(3)若函数f(x)关于点(a,0)与直线x=b(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=4(b-a).5.常用的数学方法与思想函数奇偶性的判断方法,数形结合思想、分类讨论思想.1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).(1)函数f(x)是偶函数,若在(-∞,0)上单调递增,则在(0,+∞)上必递减.()(1)√(2)若函数f(x)=0,则x∈(-1,1],函数f(x)既是奇函数又是偶函数.()(2)×(3)若函数y=f(x-1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.()(3)×(4)若函数f(x)在定义域上满足f(x+2)=-f(x),则f(x)是周期为4的周期函数.()(4)√2.(2015·福建高考)下列函数为奇函数的是()A.y=√𝑥B.y=|sinx|C.y=cosxD.y=ex-e-x2.D【解析】由函数的奇偶性知选项A中的函数是非奇非偶函数,选项B中的函数是偶函数,选项C中的函数是偶函数,选项D中的函数f(-x)=e-x-ex=-f(x),x∈R,故其是奇函数.3.(2015·新课标全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+√𝑎+𝑥2)为偶函数,则a=.3.1【解析】因为f(x)=xln(√𝑎+𝑥2+𝑥)=−𝑥ln(√𝑎+𝑥2−𝑥),所以√𝑎+𝑥2+𝑥=1𝑎+𝑥2-𝑥,解得a=1.4.(2015·重庆南开中学模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,f(x)=f(x+4),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+15,则f(log220)=.4.-1【解析】由f(x)满足f(-x)+f(x)=0,f(x)=f(x+4)可知函数为奇函数,且周期为4,而log220=2+log25,所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25-2)=flog254,又因为𝑥∈(0,2)时,−𝑥∈(−2,0),∴𝑓(−𝑥)=2−𝑥+15,即𝑥∈(0,2)时𝑓(𝑥)=−2−𝑥−15,又∵log254∈(0,1),∴𝑓log254=−2-log254−15=−45−15=-1.考点1函数奇偶性的判断与应用命题角度1:函数奇偶性的判断典例1判断下列函数的奇偶性,并证明.(1)f(x)=x4+x2+1;(2)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4];(3)f(x)=|x+1|-|x-1|.【解题思路】(1)(2)(3)的突破口是函数定义域的对称性,再找出f(x),f(-x)之间的关系.【参考答案】(1)f(x)的定义域为R,且f(x)=f(-x),则f(x)为偶函数.(2)由于f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不是关于原点对称的区间,因此f(x)是非奇非偶函数.(3)函数的定义域x∈(-∞,+∞),关于原点对称.因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x),所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数.命题角度2:函数奇偶性的应用典例2(2015·天一大联考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+2-x,则f(2)+g(2)=()A.4B.-4C.2D.-2【解题思路】在f(x)-g(x)=x3+2-x中用-x代替x,并利用奇、偶函数的定义求解.f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,故有f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x),由f(x)-g(x)=x3+2-x得f(-x)-g(-x)=-x3+2x,即f(x)+g(x)=-x3+2x,因此f(2)+g(2)=-23+22=-4.【参考答案】B★备用典例已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,x0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为.【解题思路】设x0,则-x0,从而f(-x)=(-x)+1.∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.当x=0时,有f(-0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)的解析式为f(x)=𝑥+1(𝑥0),0(𝑥=0),𝑥-1(𝑥0).【参考答案】f(x)=𝑥+1(𝑥0)0(𝑥=0)𝑥-1(𝑥0)1.判断函数的奇偶性,一般有以下三种方法:(1)定义法(2)图象法:函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称.(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)2.利用奇、偶函数主要解决三大问题:(1)函数值的求法:构造关系式求出表达式,再求值;(2)表达式的求法:把所求段的解析式转化为已知条件下的解析式,通过奇偶性处理“f(-x)”中的符号;(3)与单调性结合解含“f”的不等式:通过移项把“-f(x)”与“f(-x)”相互转化,然后去掉“f”符号,构造方程(组)或不等式(组).【变式训练】1.判断函数f(x)=𝑥2-2𝑥(𝑥≥0),𝑥2+2𝑥(𝑥0)的奇偶性.1.【解析】解法1:f(x)的定义域为R,当x0时,-x0,f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x).当x=0时,f(0)=0=f(-0).当x0时,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x).∴对于x∈R总有f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.解法2:当x≥0时,f(x)=x2-2x=x2-2|x|.当x0时,f(x)=x2+2x=x2-2|x|,∴f(x)=x2-2|x|,∴f(-x)=(-x)2-2|-x|=x2-2|x|=f(x),∴f(x)为偶函数.2.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)f13的x的取值范围是.2.13,23【解析】∵偶函数𝑓(𝑥)=𝑓(|𝑥|),∴𝑓(2𝑥−1)𝑓13,即𝑓(|2𝑥−1|)𝑓13.又𝑓(𝑥)在[0,+∞)上单调递增,∴|2𝑥−1|13,解得13𝑥23.★备用练习(2015·北京丰台区测试)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,如果函数g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是.(-1,0)【解析】函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x,可知x0,f(x)=x2+2x,所以f(x)=𝑥2-2𝑥(𝑥≥0),𝑥2+2𝑥(𝑥0),作出函数的图象,令g(x)=f(x)-m=0⇒f(x)=m,依题得直线y=m与抛物线y=f(x)有四个交点,数形结合得-1m0.考点2函数的周期性典例3(2015·蚌埠质检)函数y=f(x)是R上的奇函数,满足f(3+x)=f(3-x),当x∈(0,3)时,f(x)=2x,则当x∈(-6,-3)时,f(x)等于()A.2x+6B.-2x-6C.2x-6D.-2x+6【解题思路】由f(3+x)=f(3-x)可知f(x)=f(6-x),又y=f(x)是R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x),故-f(-x)=f(6-x),即f(x)=-f(x+6),从而f(6-x)=-f(x-6)=-f(x+6),则f(x)=f(x+12),即f(x)是周期为12的周期函数,当x∈(-3,0)时,-x∈(0,3),f(-x)=2-x,即f(x)=-2-x,当x∈(-6,-3)时,x+6∈(0,3),f(x+6)=2x+6=f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2x+6.【参考答案】D(1)判断与证明函数的周期性的关键是确定关系式:f(x+T)=f(x)(T≠0)是否存在,若存在,则为周期函数,且周期为T,否则不是周期函数.(2)应用周期性可求解出函数解析式或把不同区间上的等值对应的表达式确定下来,或转化为方程(组)或不等式(组).【变式训练】已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=-1𝑓(𝑥),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)=.2.5【解析】由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-1𝑓(𝑥+2)=−1-1𝑓(𝑥)=f(x),故函数f(x)的周期为4,则f(105.5)=f(4×26+1.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5.函数的奇偶性、周期性与对称性的应用命题角度1:奇偶性与对称性相互转化应用于求值典例1已知函数f(x)是R上的奇函数,且f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2017)+f(2018)=()A.3B.2C.1D.0【解题思路】利用奇函数得到f(-x)=-f(x)及f(0)=0,利用f(x)的图象关于直线x=1对称,得到f(x+2)=f(-x),然后将二者结合求解.因为函数f(x)是R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以有f(x+2)=f(-x)=-f(x),因此f(x+4)=f(x),故函数的周期为4,又函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,由图象关于直线x=1对称得f(2)=f(0)=0,而f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0),所以f(2017)+f(2018)=(21-1)+(20-1)=1.【参考答案】C★备用典例若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)的图象的对称轴方程为.【解题思路】解法一:因为函数f(x+1)为偶函数,所以函数f(x+1)的图象的对称轴方程为x=0,而f(x)的图象可由函数f(x+1)的图象向右平移一个单位得到,故f(x)的图象的对称轴方程为x=1.解法二(构造函数法):由