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第十节导数的概念及其运算考纲概述考查热点考查频次备考指导(1)了解导数概念的实际背景;(2)理解导数的几何意义;(3)能根据导数定义求函数y=C(C为常数),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x的导数;(4)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数.导数的概念与运算★★★★★加强对导数的概念的理解,熟悉基本函数的求导并会进行导数的四则运算,掌握f(ax+b)形式的复数函数的求导,能利用导数的几何意义解决问题.复合函数求导★★★★导数的几何意义★★★★★1.导数的概念函数f(x)在x=x0处的导数就是函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率,记作:y'|𝑥=𝑥0或f'(x0),即f'(x0)=limΔ𝑥→0f(x0+𝛥x)-f(x0)𝛥x.2.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f'(x0),即切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).3.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q*)f'(x)=αxα-1(α∈Q*)f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a0且a≠1)f'(x)=axlna(a0且a≠1)f(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a0且a≠1)f'(x)=1𝑥ln𝑎(a0且a≠1)f(x)=lnxf'(x)=1𝑥4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)'=𝑓'(𝑥)𝑔(𝑥)-𝑓(𝑥)𝑔'(𝑥)[𝑔(𝑥)]2(g(x)≠0).特别地:[cf(x)]'=cf'(x),即常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数.5.复合函数的导数一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)),复合函数y=f(g(x))的导函数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.6.常用数学方法与思想数形结合、转化化归.1.判断下列说法是否正确(打“”或“×”).(1)f'(x)与f'(x0)(x0为常数)表示的意义相同.()(1)×(2)在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义是相同的.()(2)×(3)过某点的曲线的切线与曲线只有一个交点.()(3)×(4)设f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=3,则a的值为3.()(4)2.若已知函数f(x)=2x2的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则Δ𝑦Δ𝑥等于()A.4B.4xC.4+2ΔxD.4+2(Δx)22.C【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-2=4Δx+2(Δx)2,所以Δ𝑦Δ𝑥=4+2Δx.3.下列函数求导运算正确的个数为()①(x6)'=6x5;②(2x)'=2𝑥ln2;③(log3x)'=ln3𝑥;④(sin2x)'=2sinxcosxA.1B.2C.3D.43.B【解析】(x6)'=6x5与(sin2x)'=2sinxcosx正确.4.若f'(x0)=2,则lim𝑘→0f(x0-k)-f(x0)2k等于()A.-1B.-2C.1D.124.A【解析】令-k=Δx,则k=-Δx,𝑙𝑖𝑚k→0𝑓(𝑥0-𝑘)-𝑓(𝑥0)2𝑘=lim-Δ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)2(-Δ𝑥)=lim-Δ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥·-12=−12lim-Δ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)-𝑓(𝑥0)Δ𝑥=−12×2=-1.5.已知函数f(x)=ln1+𝑥1-𝑥,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为.5.2x-y=0【解析】当x=0时,f(0)=ln1=0,所以点(0,f(0),即为(0,0),又由f(x)=ln1+𝑥1-𝑥得𝑓′(𝑥)=1-𝑥1+𝑥·(1-𝑥)+(1+𝑥)(1-𝑥)2=21-𝑥2,所以k=f'(0)=2,因此切线方程为y-0=2(x-0)⇒2x-y=0.考点1导数的概念典例1利用导数定义求函数f(x)=𝑥在x=1处的导数.【解题思路】分三步:①求Δy=f(1+Δx)-f(1);②求Δ𝑦Δ𝑥;③取极限.【参考答案】因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=1+Δ𝑥−1,Δ𝑦Δ𝑥=1+Δ𝑥-1Δ𝑥,所以f'(x)=limΔ𝑥→01+𝛥x-1𝛥x=𝑙𝑖𝑚𝛥x→0(1+Δ𝑥-1)(1+Δ𝑥+1)Δ𝑥(1+Δ𝑥+1)=limΔ𝑥→011+Δ𝑥+1=12.有关导数的概念的三个总结(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率Δ𝑦Δ𝑥在当Δx→0时极限是否存在.(2)利用导数定义求函数的导数的三步曲:①求函数的增量Δy;②求比值Δ𝑦Δ𝑥=𝑓(𝑥+Δ𝑥)-𝑓(𝑥)Δ𝑥;③再求极限y'=limΔ𝑥→0𝛥y𝛥x.(3)导数定义中,x在x0处增量是相对的,可以是Δx,也可以是2Δx,-Δx等,做题要将分子分母中增量统一为一种.考点2导数的运算典例2求下列函数的导数:(1)y=11-𝑥+11+𝑥;(2)y=cosxex-2x+sinx;(3)y=ln𝑥𝑥2+1.【解题思路】(1)先通分,再求导;(2)公式不能混淆;(3)分式的求导,公式勿写错.【参考答案】(1)因为y=11-𝑥+11+𝑥=1+𝑥+1-𝑥1-𝑥=21-𝑥,所以y'=-2(1-𝑥)'(1-𝑥)2=2(1-𝑥)2.(2)y'=(cosx)'·ex+(cosx)·(ex)'-(2x)'+(sinx)'=(-sinx)·ex+cosx·ex-2xln2+cosx=(cosx-sinx)·ex+cosx-2xln2.(3)y'=ln𝑥𝑥2+1'=(ln𝑥)'(𝑥2+1)-ln𝑥(𝑥2+1)'(𝑥2+1)2=1𝑥·(𝑥2+1)-ln𝑥·(2𝑥)(𝑥2+1)2=𝑥2-2𝑥2·ln𝑥+1𝑥(𝑥2+1)2.导数运算求解策略(1)求解指导思想:先化简解析式,使之成为基本初等函数的求导公式的和、差、积、商,再求导;(2)求解操作过程的方法:①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.【变式训练】求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=e𝑥𝑥.【解析】(1)因为y=x3+6x2+11x+6,所以y'=3x2+12x+11.(2)y'=(e𝑥)'𝑥-e𝑥·(𝑥)'𝑥2=e𝑥(𝑥-1)𝑥2.★备用练习求函数y=cosx·cos2x·cos4x的导数.【解析】因为y=cosx·cos2x·cos4x=sin𝑥·cos𝑥·cos2𝑥·cos4𝑥sin𝑥=18·sin8𝑥sin𝑥,所以y'=18sin8𝑥sin𝑥'=18·8sin𝑥·cos8𝑥-cos𝑥·sin8𝑥sin2𝑥=cos8𝑥sin𝑥−cos𝑥·sin8𝑥8sin2𝑥.考点3复合函数的导数典例3求下列函数的导数:(1)y=e2x·sin2x+2(3x-1);(2)y=ln𝑥2+1.【解题思路】找出中间量,并且最终是y对x求导.【参考答案】(1)y'=(e2x)'sin2x+e2x·(sin2x)'+(23x-1)'=e2x·(2x)'·sin2x+e2x·(cos2x)·(2x)'+23x-1ln2·(3x-1)'=2e2x·sin2x+2e2x·cos2x+3·23x-1ln2=2e2x·(sin2x+cos2x)+3·23x-1ln2.(2)解法1:设u=𝑥2+1,v=x2+1,则y'=y'u·u'v·v'x,y'=1𝑥2+1·12𝑥2+1·2𝑥=𝑥𝑥2+1.解法2:y=12ln(𝑥2+1),𝑦′=12·2𝑥𝑥2+1=𝑥𝑥2+1.复合函数的求导步骤(1)对函数的复合过程进行合理分划,即充分利用复合函数的结构特点,引入中间变量u将复合函数分解为基本初等函数或较简单函数y=f(u)和u=φ(x)等;(2)利用复合函数的求导法则求导,有时一个函数不能一次分解完成,需要进行多步分解,但最后的结果始终是y对x的求导.【变式训练】求下列函数的导数:(1)y=ln(2x+1)2;(2)y=cos2𝑥-π3.【解析】(1)y'=2(2𝑥+1)×2(2𝑥+1)2=42𝑥+1.(2)y'=-sin2𝑥-π3×2=−2sin2𝑥-π3.考点4导数的几何意义命题角度1:利用导数的几何意义求切点或切线方程典例4已知曲线y=13x3+43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程;(2)求满足斜率为1的曲线的切线方程.【解题思路】(1)在P(2,4)点的切线只有一条,只需求斜率;(2)已知斜率找切点.【参考答案】(1)∵y'=x2,∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y'|x=2=22=4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设切点为(x0,y0),故切线的斜率为k=𝑥02=1,解得x0=±1,故切点为1,53,(-1,1).故所求切线方程为y-53=x-1和y-1=x+1,即3x-3y+2=0和x-y+2=0.命题角度2:求待定字母的值或取值范围典例5(2015·山东淄博实验中学诊断)若函数f(x)=lnx+2x2-ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-6]B.(-∞,-6]∪[2,+∞)C.[2,+∞)D.(-∞,-6)∪(2,+∞)【解题思路】由f(x)=lnx+2x2-ax,得f'(x)=1𝑥+4𝑥−𝑎,因为直线2𝑥−𝑦=0的斜率为𝑘=2,所以由题可知方程1𝑥+4𝑥−𝑎=2(𝑥0)有解,即求函数𝑎=1𝑥+4𝑥−2(𝑥0)的值域,因为𝑎=1𝑥+4𝑥−2≥21𝑥·4𝑥-2=2,当且仅当x=2时,等号成立,所以a≥2.【参考答案】C导数的几何意义的作用与求解步骤(1)作用主要体现在两点:①“求”即指求曲线的切线方程;②“用”即利用切线构建方程(组)或不等式(组)”.(2)求过点P的切线方程的步骤为第一步,设出切点坐标P'(x1,f(x1));第二步,写出过P'(x1,f(x1))的切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);第三步,将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1;第四步,将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.易错处:在求曲线的切线方程时,有求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程,其含义不同,在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线,不论点P在不在曲线上,点P不一定是切点.(3)已知过曲线上点P处的切线求待定字母的值或取值范围扣住切点的双重性:即该点即在曲线上又在切线上,从而构建两个关系式.【变式训练】1.(2015·辽宁实验中学测试)若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为()A.(-1,2)B.(1,-3)C.(1,0)D.(1,5)1.C【解析】设点P(x0,y0),由则有f(x)=x4-x⇒f'(x)=4x3-1,由于点P处