搜索
走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索高考二轮总复习第一部分微专题强化练一考点强化练第一部分16不等式与线性规划考向分析考题引路强化训练231易错防范4考向分析1．以客观题形式考查不等式的性质和解不等式与集合、函数、简易逻辑知识结合命题．2．以客观题形式考查基本不等式的应用．3．以客观题形式考查线性规划知识，主要是求目标函数的最值问题或求平面图形的面积．4．不等式恒成立问题与函数、导数、数列等知识结合作为大题的一问，或将不等式有关知识分散在几个题中，间接考查，一般不单独命制大题．考题引路考例1(2015·四川理，1)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)0}，集合B＝{x|1x3}，则A∪B＝()A．{x|－1x3}B．{x|－1x1}C．{x|1x2}D．{x|2x3}[立意与点拨]考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A，再按并集的意义求解．[答案]A[解析]A＝{x|－1x2}，B＝{x|1x3}，∴A∪B＝{x|－1x3}，选A．考例2(2015·山东文，14)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－y2xy(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．[立意与点拨]考查阅读理解转化能力和基本不等式．先按新定义将待求最小值的表达式化简，再用基本不等式求最小值．[答案]2[解析]由新定义运算知，x⊗y＝x2－y2xy，所以(2y)⊗x＝2y2－x22yx＝4y2－x22xy，因为，x＞0，y＞0，所以，x⊗y＋(2y)⊗x＝x2－y2xy＋4y2－x22xy＝x2＋2y22xy≥22xy2xy＝2，当且仅当x＝2y时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值是2.考例3(文)(2015·湖南文，4)若变量x，y满足约束条件x＋y≥1，y－x≤1，x≤1，则z＝2x－y的最小值为()A．－1B．0C．1D．2[立意与点拨]考查线性规划的应用；先画出可行域，再平移直线l：2x－y＝0确定最优解．[答案]A[解析]由约束条件作出可行域，然后根据所得图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．由约束条件x＋y≥1，y－x≤1，x≤1，作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立x＋y＝1y－x＝1，∴x＝0y＝1，∴A(0,1)，∴z＝2x－y在点A处取得最小值为2×0－1＝－1，故选A．(理)(2015·新课标Ⅰ文，15)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y＋1≤0，2x－y＋2≥0，则z＝3x＋y的最大值为________．[立意与点拨]本题考查线性规划，先画出可行域，再平移直线3x＋y＝0找最优解．[答案]4[解析]由已知可得可行域如下图所示，两直线x＋y－2＝0与x－2y＋1＝0的交点为(1,1)，由z＝3x＋y得y＝－3x＋z，由图形可知，当y＝－3x＋z经过点(1,1)时取得最大值，即zmax＝3＋1＝4.故本题正确答案为4.易错防范案例1(文)忽视基本不等式中等号成立的条件致误已知：a0，b0，a＋b＝1，求(a＋1a)2＋(b＋1b)2的最小值．[易错分析]本题常犯错误是两次利用基本不等式，等号成立的条件不能同时取到．[解答](a＋1a)2＋(b＋1b)2＝a2＋b2＋1a2＋1b2＋4＝(a2＋b2)(1＋1a2b2)＋4＝(1－2ab)(1＋1a2b2)＋4，∵a0，b0，a＋b＝1，∴ab≤(a＋b2)2＝14，∴1－2ab≥1－12＝12，且1＋1a2b2≥17.∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a＝b＝12时，等号成立)，∴(a＋1a)2＋(b＋1b)2的最小值是252.[警示]利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正、二定、三相等”的条件．解题时，应尽量避免多次应用基本不等式，如连续应用了基本不等式，应特别注意检查等号是否能同时成立．(理)求解线性规划问题时对表达式的几何意义理解错误(2014·新课标Ⅱ理，9)设x、y满足约束条件x＋y－7≤0x－3y＋1≤03x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2[易错分析]因为没有弄清目标函数z＝2x－y的几何意义，由z＝2x－y得y＝2x－z，当z取最大值时，－z应取最小值，故当直线y＝2x－z在y轴上截距最大时，符合题意，另外画图不够准确致错．[解答]作出可行域如图，作直线l：y＝2x，平移直线l，当经过可行域内的点A时，－z取最小值，z取最大值，由x－3y＋1＝0，x＋y－7＝0，解得x＝5，y＝2.∴A(5,2)，∴zmax＝2×5－2＝8，故选B．[警示]①线性规划的求解是在图上进行的，因此做图是否准确直接影响到结论的正误；②要注意目标函数最值的几何意义；③要注意线性目标函数直线与围成可行域的直线的位置关系．