9.1空间曲线的切线与法平面

9.1空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程)()()(tzztyytxxozyx其中的三个函数均可导.M.),,(0000tttzzyyxxM对应于;),,,(0000ttzyxM对应于设M第六节微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面割线的极限位置称为切线zzzyyyxxx000ttt上式分母同除以,tozyxMM割线的方程为MM,000zzzyyyxxx,0,时即当tMM曲线在M处的切线方程.)()()(000000tzzztyyytxxx切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量,)(),(),(000tztytxT法平面：过M点且与切线垂直的平面:.0))(())(())((000000zztzyytyxxtx解,1时当t,1x,2ty,62tz,1)1(x,2)1(y,6)1(z切线方程为,622111zyx法平面方程,0)2(6)1(2)1(zyx.01562zyx即.12,,:32切线和法平面方程处的在求曲线ttztytx例1,2,1,1zyx解当0t时，,2,1,0zyx,costext,sincos2tty,33tez,1)0(x,2)0(y,3)0(z切线方程为,322110zyx法平面方程,0)2(3)1(2)0(zyx.0832zyx即.01,cossin2,cos:30处的切线和法平面方程在求曲线tezttyuduexttu例21.空间曲线方程为,)()(xzzxyy,),,(000处在zyxM,)()(100000xzzzxyyyxx.0))(())(()(00000zzxzyyxyxx法平面方程为◆特殊地：T切向量)},(),(,1{00xzxy切线方程为解.12,:32的切线和法平面方程的点处上对应于求曲线xxzxyL例3的点为曲线上对应于1x),2,1,1(,6,22xzxy,6)1(,2)1(zyT切向量},6,2,1{切线为,622111zyx法平面为,0)2(6)1(2)1(zyx.01562zyx即2.空间曲线方程为,0),,(0),,(zyxGzyxF切线方程为:法平面方程为:.0)()()(02010zzJyyJxxJMMM有时当设,0),,,(000MzyzyGGFFJzyxM,20100MMMJzzJyyJxxT切向量},,{MyxyxMxzxzMzyzyGGFFGGFFGGFF},,,{21MMMJJJ解1直接利用公式;解2将所给方程的两边对x求导并移项，得1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy,zyyxdxdz,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz.)1,2,1(0,6:222处的切线和法平面方程点在求曲线zyxzyxL例4由此得切向量)}(),(,1{00xzxyT所求切线方程为,110211zyx法平面方程为,0)1()2(0)1(zyx.0zx即,0)1,2,1(dxdy,1)1,2,1(dxdz},1,0,1{、