高考文科数学圆锥曲线专题复习

１______________________________________________________________________________________________________（版权所有翻版必究）高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳：名称椭圆双曲线图象xOyxOy定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨迹叫椭圆奎屯王新敞新疆即aMFMF221当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，当2a＝2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线奎屯王新敞新疆即122MFMFa当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a＝2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay常数cba,,的关系222bca，0ba，a最大，bcbcbc,,222bac，0acc最大，可以bababa,,渐近线焦点在x轴上时：0xyab焦点在y轴上时：0yxab抛物线：２______________________________________________________________________________________________________（版权所有翻版必究）图形xyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p准线2px2px2py2py（一）椭圆1.椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222babyax（1）范围：axb-a，xa，椭圆落在bya，x组成的矩形中。（2）对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点奎屯王新敞新疆椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2aAaA，),0(),,0(2bBbB。加两焦点)0,(),0,(21cFcF共有六个特殊点。21AA叫椭圆的长轴，21BB叫椭圆的短轴。长分别为ba2,2。ba,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。（4）离心率：椭圆焦距与长轴长之比。ace2)(1abe。10e。椭圆形状与e的关系：0,0ce，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0e时的特例。,,1ace椭圆变扁，直至成为极限位置线段21FF，此时也可认为是椭圆在1e时的特例。2.椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式奎屯王新敞新疆3.椭圆的准线方程对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:３______________________________________________________________________________________________________（版权所有翻版必究）焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）（二）双曲线的几何性质：1.（1）范围、对称性由标准方程12222byax，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。（2）顶点顶点：0,),0,(21aAaA，特殊点：bBbB,0),,0(21实轴：21AA长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：21BB长为2b，b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异。（3）渐近线过双曲线12222byax的渐近线xaby（0byax）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比acace22，叫做双曲线的离心率奎屯王新敞新疆范围：e1双曲线形状与e的关系：1122222eacaacabk，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。2.等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2e。3.共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为xaby)0(kxkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222kkbykax或写成2222byax。4.共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。5.双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数)0(acace的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。４______________________________________________________________________________________________________（版权所有翻版必究）6.双曲线的准线方程：对于12222byax来说，相对于左焦点)0,(1cF对应着左准线caxl21:，相对于右焦点)0,(2cF对应着右准线caxl22:；焦点到准线的距离cbp2（也叫焦参数）。对于12222bxay来说，相对于下焦点),0(1cF对应着下准线cayl21:；相对于上焦点),0(2cF对应着上准线cayl22:。（三）抛物线的几何性质（1）范围因为p＞0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标（x，y）满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2）对称性以－y代y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022ppxy中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点。（4）离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。【典型例题】例1.根据下列条件，写出椭圆方程奎屯王新敞新疆（1）中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；（2）和椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且经过点（2，－3）；（3）中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是510－。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。解：（1）焦点位置可在x轴上，也可在y轴上５______________________________________________________________________________________________________（版权所有翻版必究）因此有两解：112x16y112y16x2222或（2）焦点位置确定，且为（0，5），设原方程为22221yxab,（ab0），由已知条件有14952222baba10,1522ba，故方程为110x15y22。（3）设椭圆方程为12222byax,（ab0）由题设条件有510cacb及a2＝b2＋c2，解得b＝10,5a故所求椭圆的方程是15y10x22。例2.直线1kxy与双曲线1322yx相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？解：把1kxy代入1322yx整理得：022)3(22axxa……（1）当3a时，2424a由0得6a6且3a时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点奎屯王新敞新疆若A、B在双曲线的同一支，须32221axx0，所以3a或3a。故当36a或63a时，A、B两点在同一支上；当33a时，A、B两点在双曲线的两支上。例3.已知抛物线方程为)1x(p2y2（p0），直线myxl:过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解：设l与抛物线交于1122(,),(,),||3.AxyBxyAB则由距离公式|AB|＝|yy|2|yy|k11)yy()x-(x21212221221６______________________________________________________________________________________________________（版权所有翻版必究）则有2129().2yy由02yx，)1(221222ppy，xpypyx得消去.,2.04)2(2212122pyypyypp从而212212214)()(yyyyyy即294)2(22pp由于p0，解得43p例4.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解法一：由e=22ac,得21222aba,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设AB中点为(x0,y0),则kAB=－002yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,于是－002yx=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),byxbxybxy111221解得则由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692a.∴所求椭圆C的方程为2291698yx=1,l的方程为y=－x+1.解法二：由e=21,22222abaac得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),BAy=12xoyxF2F1７______________________________________________________________________________________________________（版权所有翻版必究）将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x1－