算子理论讲义

111/4/2013算子理论1BUPT算子理论算子理论北京邮电大学袁超伟11/4/2013算子理论2BUPT基本概念基本概念--数学科学数学科学•数学科学是集严密性、逻辑性、精确性、创造力和想象力于一身的一门学问。•是模型的科学。•数学探讨的是追求简单性，力求从各模型提炼出本质。11/4/2013算子理论3BUPT基本概念基本概念--数学科学数学科学•数学科学中的研究工作有2个目标：–充实和扩展这个学科的核心领域。–解决问题成为发现数学对之有用的日益增多的科学技术领域创造各种提出和解决问题的技巧与方法。•数学研究包罗了从基础性研究到由应用所驱动的寻找特定问题的科学等形形色色的研究。11/4/2013算子理论4BUPT算子理论算子理论•算子：人们试图用统一的方法去处理经典分析中各领域分散研究的一些问题，比如：变分法，积分方程，正交函数系，逼近论等。•算子理论用抽象的形式和统一的方法对一些表面上看起来很不相同的对象进行加工，不仅使经典的分析中的概念更加一般化，而且能够富有成效地解决问题。211/4/2013算子理论5BUPT基础知识基础知识•线性空间–定义：–设V是一个非空集合，R为实数域，若对于任意2个元素α,β∈V，总有唯一元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ=α+β。又对于任意λ∈R与任意元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα，且这2种运算满足以下8条规律：11/4/2013算子理论6BUPT基础知识基础知识•线性空间–α+β=β+α–（α+β）+γ=α+（β+γ）–在V中存在零元素0，对任意α∈V都有α+0=α。–对任意α∈V都有α的负元素β∈V，使α+β=0.–1α=α–λ(µα)=(λµ)α–(λ+µ)α=λα+µα–λ(α+β)=λα+λβ那么，V就是称为（实数域R上的）向量空间（或线性空间）。11/4/2013算子理论7BUPT基础知识基础知识•线性空间–线性空间的表示：非空集合S,数域P,(S,P;+·)T:X→Y.f1，f2∈X，λ1,λ2∈P，T(λ1f1+λ2f2)=T(λ1f1)+T(λ2f2)=λ1T(f1)+λ2T(f2)-可加性11/4/2013算子理论8BUPT算子定义算子定义•空间→空间的映射，称为算子。•设X，Y是两个线性空间，D是X中的子集，若对每一个x∈D，Y中有唯一确定的元素y与之对应，记作y=Tx，则称T是D到Y内的算子。•其中，D称为算子T的定义域D(T)•T(D)∈Y称为算子T的值域R(T)311/4/2013算子理论9BUPT算子定义算子定义•函数与泛函•泛函与算子•函数与算子–函数：数集→数集–泛函：空间→数集–算子：空间→空间11/4/2013算子理论10BUPT算子理论的任务算子理论的任务•通过学习算子理论，掌握一种数学方法，用于解决自己在专业研究中遇到的问题。•怎样应用Æ问题描述Æ确定空间Æ建立数学模型Æ求解(存在性，唯一性，连续性……)11/4/2013算子理论11BUPT基础知识基础知识•算子理论具有高度的综合性和统一性，它除了使得经典分析和概念和方法更加系统外，又能使问题的认识得到深化和拓广，从而能应用于更广泛的对象，它能揭示数学和物理中许多问题的共同属性和相互关系。掌握了这一项有助于人们从更普遍的角度，更深刻地所研究的对象，启发人们更好地理解问题的实质，从而更好地开辟解决问题的途径。11/4/2013算子理论12BUPT基础知识基础知识•Rieman积分：在区间[a,b]上，a=x0x1···xn=b，xk-1≤ξk≤xk,λ=max(xk-xk-1)----沿直线•Stielties积分：•Lebeque积分：设()()()()()()∫∑→−−=+baniiiixdxfxxfφφφξ101-----沿曲线()[]dyyycbaxdxfcn==∈≤≤Λ10,,,()kkkkkyyyy≤−=−−ηλ11,max()()()∫∑→≤∈=−bankkkkdxxfyxfy11η411/4/2013算子理论13BUPT基础知识基础知识•测度：–设E是a≤x≤b中的一个点集，E的点可以被[a,b]中一族有限个区间d1,d2,···，所包围而成为内点，能够证明区间集合可以被互不重叠的区间集合所代替，使得E的每一个点是其中某一个区间的内点，或者是两个相邻区间的公共端点，令表示长度δi之和，所有可能集合的（最大）下界称为E的外测度，记作。δ1，δ2，···{}id∑nδ{}iδ∑iδ()Eme11/4/2013算子理论14BUPT基础知识基础知识•E的内测度定义为集合C(E)的外测，这里集合C(E)是E在[a，b]中的补集，也就是中不在E内的点所成集合。如果则称E为可测的，测度设E是x轴上的一个有界可测集，在E上可测是指，如果对任意常数A，E中使得的点所成的集合是可测集。()()()EmEmEmei==()Emibxa≤≤()()EmEmei≤()()EmEmei=()xf()Axf11/4/2013算子理论15BUPT基础知识基础知识•Lebeque可积函数不一定几乎处处连续。11/4/2013算子理论16BUPT基础知识基础知识511/4/2013算子理论17BUPT基础知识基础知识11/4/2013算子理论18BUPT基础知识基础知识•高数的理论建立在极限基础上。•数学分析的主要结果是在极限理论基础上获得的。极限概念只用到数与数之间的距离。因此距离是更为基础的一个概念。对于x,y∈R，距离是表达实（数）直线上点x与点y之间远近的一个数，用数学方法求解物理系统的状态时，往往只能得到近似解，希望近似解能任意逼近准确解，为此需要在系统的状态之间给出一种度量，以便确切地规定出“任意逼近”的概念。11/4/2013算子理论19BUPT数域（数域（numberfieldnumberfield））•设P是某些复数所成之集合，其中包括0与1，如果对四则运算封闭，即P中任意两数（可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称P为数域。11/4/2013算子理论20BUPT概念概念•距离（distancefunction）•度量空间（metricspace）•拓扑（Topology）•拓扑空间（Topologicalspace）•柯西序列（Cauchysequence）611/4/2013算子理论21BUPT概念概念•紧性（compactness）•列紧性（Sequenticallycompactness）•相对列紧（relativesequenticallycompactness）•列紧空间（Sequenticallycompactspace）•紧空间（compactspace）11/4/2013算子理论22BUPT概念概念•范数（norm）•强收敛（strongconvergence）•完备性（completeness）•巴拿赫空间（Banach）11/4/2013算子理论23BUPT概念概念•代数（algebra）•可交换（commutative）•单位元（Unit）•子代数（subalgebra）•赋泛代数（normedalgebra）•巴拿赫代数（Banachalgebra）11/4/2013算子理论24BUPT概念概念•泛函（functional）•有界线性泛函（连续性泛函）（continuouslinearfunctional）•共轭空间（conjugatespace）•共轭算子（conjugateoperator）•伴随算子（adjointoperator）711/4/2013算子理论25BUPT概念概念•同态（homomorphism）•自同态（self-homomorphism）•同胚（homeomorphism）•线性同胚（linearhomeomorphism）11/4/2013算子理论26BUPT概念概念•半范数（semi-norm）•酉空间（UnitarySpace）•凸集（ConvexSet）•导出凸集（derivedconvexset）11/4/2013算子理论27BUPT概念概念•豪斯多夫空间（HausderffSpace）•有界线性算子（boundedlinearoperator）–等距算子–压缩算子（contractionoperator）•线性算子空间（spaceofboundedlinearoperator）11/4/2013算子理论28BUPT概念概念•依范数收敛•强收敛（strongconvergence）•积分算子（Integraloperator）811/4/2013算子理论29BUPT概念概念•稠密子集（densesubset）•基本集（fundamentalset）•延拓11/4/2013算子理论30BUPT概念概念•开映射定理（openmappingtheorem）•巴拿赫逆算子定理（Banachinverseoperatortheorem）•图像（graph）•闭算子（closedoperator）–闭算子的判定方法11/4/2013算子理论31BUPT概念概念•闭图像定理（closedgraphtheorem）•一致有界原理（Uniformboundednessprinciple）•共鸣定理（resonancetheorem）11/4/2013算子理论32BUPT概念概念•魏尔斯特拉斯定理（Weierstrass）•内积（Innerproduct）•内积空间（Innerproductspace）•Hilbert空间•对偶空间（dualspace）911/4/2013算子理论33BUPT概念概念•弱收敛（weaklyconverge）•弱*收敛（weakly*converge）•n次共轭空间•序列弱列紧（Sequentialweakcompact）•序列弱*列紧（Sequentialweak*compact）11/4/2013算子理论34BUPT概念概念•可分度量空间（Seperablemetricspace）•共轭算子（conjugateoperator）–共轭算子的性质•伴随算子（adjointoperator）–伴随算子的性质11/4/2013算子理论35BUPT概念概念•酉算子（Unitaryoperator）•正规算子（normaloperator）•自伴算子（self-adjointoperator）•对称算子（symmetricoperator）•正算子（positiveoperator）–一些典型的正线性算子11/4/2013算子理论36BUPT距离距离•是一种空间结构，称为距离结构。•用数学方法求解物理系统的状态时，往往只能得到近似解，为此需要在系统的状态之间给出一种度量。以便确切地规定出“任意逼近”的概念。1011/4/2013算子理论37BUPT距离距离11/4/2013算子理论38BUPT距离距离11/4/2013算子理论39BUPT距离距离11/4/2013算子理论40BUPT线性运算（线性运算（linearoperationlinearoperation））•加法（addition）•数乘法（scalarmultiplication）–加法和数乘法一起统称为集合S在数域P上的线性运算1111/4/2013算子理论41BUPT线性空间（线性空间（linearspacelinearspace））•如果规定非空的集合S在数域P上的线性运算加（+）与乘（•），则S、P、+与•在一起称为一个线性空间，有时记作(S,P;+,•)11/4/2013算子理论42BUPT线性算子线性算子•设X、Y是两个线性空间，定义在X中某个集合Ω上，取值于Y的映射T称为算子（operator）•可加的、齐次的算子称为线性算子（linearoperator）11/4/2013算子理论43BUPT迭代算子迭代算子•提供了可用于不同数据类型的循环控制结构框架，迭代算子是一个模块，允许用户以方便有效的方式在任意数据类型上进行迭代计算。11/4/2013算子理论44