2014年高考高三理科第三章三角函数、三角恒等变换、解三角形3.5

3．5三角函数的图象和性质考纲点击1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性.说基础课前预习读教材考点梳理1.周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②______叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③__________，那么这个④__________就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象续表函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域x∈Rx∈R{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域⑤____________⑥____________⑦____________单调性⑧__________上递增，k∈Z；⑨__________上递减，k∈Z⑩__________上递增，k∈Z；⑪__________上递减，k∈Z⑫__________上递增，k∈Z最值x＝⑬__________时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑭______________时，ymin＝－1(k∈Z)x＝⑮______时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑯______时，ymin＝－1(k∈Z)无最值奇偶性⑰__________⑱__________⑲__________续表答案：①f(x＋T)＝f(x)②T③最小正数④最小正数⑤{y|－1≤y≤1}⑥{y|－1≤y≤1}⑦R⑧－π2＋2kπ，π2＋2kπ⑨π2＋2kπ，3π2＋2kπ⑩[(2k－1)π，2kπ]⑪[2kπ，(2k＋1)π]⑫－π2＋kπ，π2＋kπ⑬π2＋2kπ⑭－π2＋2kπ⑮2kπ⑯π＋2kπ⑰奇函数⑱偶函数⑲奇函数⑳(kπ，0)，k∈Z○21kπ＋π2，0，k∈Z○22kπ2，0，k∈Z○23x＝kπ＋π2，k∈Z○24x＝kπ，k∈Z○252π○262π○27π考点自测1.设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A、C，又T＝π，故选B.答案：B2．函数y＝tanπ4－x的定义域是()A．{x|x≠π4，x∈R}B．{x|x≠－π4，x∈R}C．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z，x∈R}D．{x|x≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R}解析：∵x－π4≠kπ＋π2，∴x≠kπ＋34π，k∈Z.答案：D3．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A.－π，－5π6B.－5π6，－π6C.－π3，0D.－π6，0解析：∵f(x)＝2sinx－π3的增区间为2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)，∴当x∈[－π，0]时增区间为－π6，0，故选D.答案：D4．已知y＝tan(2x＋φ)的图象过点π12，0，则φ可以是()A．－π6B.π6C．－π12D.π12解析：∵y＝tan(2x＋φ)过点π12，0.∴tanπ6＋φ＝0，∴π6＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－π6.当k＝0时，φ＝－π6.答案：A5．若集合M＝{θ|sinθ≥12，0≤θ≤π}，N＝{θ|cosθ≤12，0≤θ≤π}，则M∩N＝__________.解析：首先作出正弦函数与余弦函数的图象，以及直线y＝12.如图结合图象可得集合M、N分别为M＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N＝{θ|π3≤θ≤π}，由上可得M∩N＝{θ|π3≤θ≤5π6}．答案：{θ|π3≤θ≤5π6}说考点拓展延伸串知识疑点清源1.关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界．在解含有正余弦函数的问题时，要注意深入挖掘正、余弦函数的有界性．2．对函数周期性概念的理解(1)周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．(2)从周期函数的定义，对于条件等式“f(x＋T)＝f(x)”可以理解为自变量增加一个常数T后，函数值不变；从图象的角度看就是，每相隔距离T图象重复出现．因此对于f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ)(ω＞0)，常数T不能说是函数f(ωx＋φ)的周期．因为f(ωx＋φ)＝fωx＋Tω＋φ，即自变量由x增加到x＋Tω，也就是Tω才是函数的周期.题型探究题型一与三角函数有关的函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y＝lgsin(cosx)；(2)y＝sinx－cosx.解析：(1)要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.方法一：利用余弦函数的简图得知定义域为{x|－π2＋2kπ＜x＜π2＋2kπ，k∈Z}．方法二：利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1，∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为x|－π2＋2kπ＜x＜π2＋2kπ，k∈Z.(2)要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.方法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为x|π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z.方法二：利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx，即MN≥OM，则π4≤x≤5π4(在[0,2π]内)．∴定义域为x|π4＋2kπ≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z.方法三：sinx－cosx＝2sinx－π4≥0，将x－π4视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，解得2kπ＋π4≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z.所以定义域为x|2kπ＋π4≤x≤5π4＋2kπ，k∈Z.点评：①对于含有三角函数式的(复合)函数的定义域，仍然是使解析式有意义即可．②求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)．③求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴．变式探究1求下列函数的定义域：(1)y＝lg(2sinx)；(2)y＝36－x2＋lgcosx.解析：(1)根据对数函数的性质，需真数2sinx＞0，解得2kπ＜x＜(2k＋1)π(k∈Z)，所以函数定义域为{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．(2)使解析式有意义的x满足cosx＞0，36－x2≥0，解得2kπ－π2＜x＜2kπ＋π2k∈Z，－6≤x≤6.得－6≤x＜－3π2或－π2＜x＜π2或3π2＜x≤6，故函数的定义域为－6，－3π2∪－π2，π2∪3π2，6.题型二与三角函数有关的函数的值域例2求下列函数的值域：(1)y＝2cos2x＋2cosx；(2)y＝3cosx－3sinx；(3)y＝sinx＋cosx＋sinxcosx.解析：(1)y＝2cos2x＋2cosx＝2cosx＋122－12.于是当且仅当cosx＝1时取得ymax＝4，当且仅当cosx＝－12时取得ymin＝－12，故函数值域为－12，4.(2)y＝3cosx－3sinx＝2332cosx－12sinx＝23cosx＋π6.∵|cosx＋π6|≤1，∴该函数值域为[－23，23]．(3)令t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12，且|t|≤2.∴y＝12(t2－1)＋t＝12(t＋1)2－1，∴当t＝－1时，ymin＝－1，当t＝2时，ymax＝2＋12.∴该函数值域为－1，12＋2.点评：求三角函数式的值域时，先观察解析式的结构，针对不同的结构类型采用不同的方法求其值域．(1)将原函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acos(ωx＋φ)＋B型或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式，利用换元法进行配方可解决问题．(2)关于y＝acos2x＋bcosx＋c(或y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0)型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题，切忌不要忽视函数的定义域．(3)换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．变式探究2求下列函数的值域：(1)y＝4tanxcosx；(2)y＝6－4sinx－cos2x；(3)y＝2sinx＋1sinx－2.解析：(1)y＝4tanxcosx＝4sinx(cosx≠0)．由于cosx≠0，所以sinx≠±1，∴函数的值域为(－4,4)．(2)y＝6－4sinx－cos2x＝sin2x－4sinx＋5＝(sinx－2)2＋1.∵－1≤sinx≤1，∴函数的值域为[2,10]．(3)方法一：y＝2sinx＋1sinx－2＝2＋5sinx－2，由于－1≤sinx≤1，所以－5≤5sinx－2≤－53，∴函数的值域为－3，13.方法二：由y＝2sinx＋1sinx－2，解得sinx＝2y＋1y－2，∵－1≤sinx≤1，∴－1≤2y＋1y－2≤1，解得－3≤y≤13，∴函数的值域为－3，13.题型三三角函数的奇偶性与周期性例3已知函数f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x.(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小正周期．解析：(1)由cos2x≠0得2x≠kπ＋π2，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z，∴f(x)的定义域为{x|x≠kπ2＋π4，k∈Z}．当x≠kπ2＋π4，k∈Z时，f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x＝6cos4x－5cos2x＋1cos2x＝2cos2x－13cos2x－1cos2x＝3cos2x－1，又f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)是偶函数．(2)∵f(x)＝3cos2x－1＝3×1＋cos2x2－1＝12＋32cos2x.∴T＝2π2＝π，∴f(x)的最小正周期为π.点评：①判断函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称，之后再作进一步判断．②在求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含有一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．变式探究3已知函数f(x)＝2sinx4cosx4＋3cosx2.(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝fx＋π3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．解析：(1)∵f(x)＝sinx2＋3cosx2＝2sinx2＋π3.∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.当sinx2＋π3＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sinx2＋π3＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)＝2sinx2＋π3，又g(x)＝fx＋π3，∴g(x)＝2sin12x＋π3＋π3＝2sinx2＋