风险决策模型层次分析法

§7.3层次分析法建模层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。社会的发展导致了社会结构、经济体系及人们之间相互关系的日益复杂，人们希望能在错综复杂的情况下，利用各种信息，通过理智的、科学的分析，作出最佳决策。例如，生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略要作出最佳决策；消费者面对琳琅满目的商品要根据它们的性能质量的好坏、价格的高低、外形的美观程度等选择自己最为满意的商品；毕业生要根据自己的专业特长、社会的需求情况、福利待遇的好坏等挑选最为合意的工作；科研单位要根据项目的科学意义和实用价值的大小、项目的可行性、项目的资助情况及周期长短等选择最合适的研究课题……。当我们面对这类决策问题时，容易发现，影响我们作决策的因素很多，其中某些因素存在定量指标，可以给以度量，但也有些因素不存在定量指标，只能定性地比较它们的强弱。在处理这类比较复杂而又比较模糊的问题时，如何尽可能克服因主观臆断而造成的片面性，较系统、全面地比较分析并作出较为明智的决策呢？Saaty.T.L等人在70年代提出了一种以定性与定量相结合，系统化、层次化分析问题的方法，称为层次分析法（AnalyticHiearchyProcess，简称AHP）。层次分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据，层次分析法的提出不仅为处理这类问题提供了一种实用的决策方法，而且也提供了一个在处理机理比较模糊的问题时，如何通过科学分析，在系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例。一、层次分析的基本步骤层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造出各层次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（4）层次总排序及一致性检验。下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作。例7.13某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。步1建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领导必定会询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（1）是否有利于调动企业职工的积极性，（2）是否有利于提高企业的生产能力，（3）是否有利于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定。根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图8.7所示。合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C措施层P图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应由决策者决定。对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。步2构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，例如图7.7中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例”之类的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下设想：将一块重为1千克的石块砸成n小块，你可以精确称出它们的质量，设为w1,…,wn。现在，请人估计这n小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。设现在要比较n个因子X={x1,…,xn}对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为Z－X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和xj对Z的影响之比为aij，则xj和xi对Z的影响之比应为。1jiijaa定义7.4若矩阵A=(aij)n×n满足（i）aij0，（ii）（i,j=1,2,…,n），则称之为正互反矩阵（易见aii=1,i=1,…,n）。1jiijaa关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用5种判断级较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度，aij相应地取1,3,5,7和9。在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时，aij可分别取值2、4、6、8。从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用1~9及其倒数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素。步3层次单排序及一致性检验上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：i、j、k=1,2,…,n,ijikikaaa定义7.5满足（7.5）关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成对比较判断矩阵应当是一个一致矩阵。但构造成对比较判断矩阵A共计要作次比较（设有n个因素要两两比较），保证A是正互反矩阵是较容易办到的，但要求所有比较结果严格满足一致性，在n较大时几乎可以说是无法办到的，其中多少带有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了1~9标度，已经接受了一定程度的误差，就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性。如何检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A，并用它作为进一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上，找到了解决这一困难的办法，给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检验方法。(12nn）定理7.7正互反矩阵A的最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于λmax。（证明从略）现在来考察一致矩阵A的性质，回复到将单位重量的大石块剖分成重量为1,…,n的n块小石块的例子，如果判断者的判断结果完全一致，则构造出来的一致矩阵为111122221212nnnnnnA容易看出，一致矩阵A具有以下性质：定理7.8若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根λmax=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。（5）若A的最大特征根λmax对应的特征向量为W=（w1,…,wn）I，则aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。（注：（1）、（2）可由一致矩阵定义得出，（3）—（5）均容易由线性代数知识得到，证明从略）。定理7.9n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根λmax=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmaxn。证明：设正互反矩阵A的最大特征根为λmax，对应的特征向量为W=（w1,…,wn）T。由定理，λmax0且wi0，i=1，…，n。又由特征根和特征向量的性质知，AW=λmaxW,故nijijiwaw1max,i=1,…,n(7.7)（8.7）式两边同除wi且关于i从1到n相加，得到ninjijijwwan11max)/(1即111max11ninijijijijijwwawwan（8.8）式的括号内共有项。(1)2nn（7.8）现证明必要性，由一致矩阵性质（5），有，故由（7.8）式，得λmax=n。jiijwwa再证明充分性。由于21ijijijijwwawwa(7.9)当且仅当=1（即）时（7.9）式中的等号成立，故由（7.8）式λmax=n。因而当λmax=n时必有=1，于是aijajk=aiki,j,k=1,2,…,n成立，A为一致矩阵。ijijwwajiijwwaijijwwa当A非一致矩阵时，（7.9）式中的等号不能对一切i，j成立，从而必有λmaxn。根据定理7.9，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越为严重，λmax对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X={x1,…,xn}在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下办法：（1）求出，称CI为A的一致性指标。max1nCIn容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越严重。利用线性代数知识可以证明，A的n个特征根之和等于其对角线元素之和（即n）故CI事实上是A的除λmax以外其余n－1个特征根的平均值的绝对值。若A是一致矩阵，其余n－1个特征根均为零，故CI=0；否则，CI0，其值随A非一致性程度的加重而连续地增大。当CI略大于零时（对应地，λmax稍大于n），A具有较为满意的一致性；否则，A的一致性就较差。（2）上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵——用从1~9及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值，并定义maxmax1nRIn称RI为平均随机一致性指标。对n=1,…,11,，Saaty给出了RI的值，如表7.10所示。表7.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（3）将CI与RI作比较，定义CICRRI称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CR0.10时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出A的最大特征根λmax及λmax对应的特征向量W=（w1,…,wn）T，进行标准化，使得。再对A作一致性检验：计算，查表得到对应于n的RI值，求，若CR0.1，则