85第四章 矩阵力学基础――表象理论

第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示(1)坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的x坐标为例。算符xˆ本征方程是)()(ˆxxxxxx(4-1-1)本征函数是).(xx量子态)(x总可按x的本征函数系展开，得dxxxxx)()()(（4.1.2）展开系数必)(x就是该量子态在x表象的表示，即波函数。(2)动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。以动量算符xpˆ为例，其本征态为：xpipxxex/)()((4.1.3)将量子态)(x按)(xxp展开xpxdpxpCxx)()()(xxxpidppCex)()(/(4.1.4)C(px)就是动量表象中的波函数。这正是第二章中已熟知的结果。动量表象也可以用动量为自变量表示。在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数)()(ˆxxxxxxpppppp（4.1.5）在动量表象中的波函数也可以用类似于(4.1.2)式的方式给出。(3)任意表象设有某一线性厄米算符Qˆ。为叙述方便起见，假定算符Qˆ具有分立本征值谱。它的本征方程为)()(ˆruQruQnnn(4.1.6)将波函数),(tr按Qˆ算符的正交归一本征函数系)}({ru展开nnnrutatr)()(),(（4.1.7）展开系数{an(t)}就是波函数必),(tr在Q表象中的表示。它可由)(xun的正交归一性推出。将(4.1.7)式两边分别乘)(*rum并对空间积分，得)()()()()(),(**tardtarurudrrutrmnnnmm(4.1.8)an(t)的物理意义是：当体系处在以(r,t)所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是)(.)(tatann具有和波函数),(tr统计解释相同的概率解释。因此我们可以用一组系数{na(t)}代替户(r,t)来描述该状态。将数列a1(t)，a2(t)，…，an(t)，…写成一个列矩阵，则(r,t)在Q表象的表示为)()()(tatatan（4.1.9）它的共轭矩阵是)),(),(),((***tatatan（4.1.10）归一条件是（4.1.10）(4.1.9)式是波函数在Q表象中的表示。现在对上述态的表象表示作些说明：(i)对希尔伯特空间，空间的维数等于完备、正交、归一的本征函数系中本征函数的个数，它可以是有限维的，也可以是无穷维的，而且空间的基底既可以是个实向量也可以是个复函数。态矢量是个复矢量。(ii)),(tr若刚好是Qˆ的本征态，满足)()(),(rutatrk(4.1.11)由于)(ruk已归一，故有)(tan,代入(4-1-8)式，得nkkntardrutata)()()()(*（4.1.12）(iii)的若算符Qˆ本征谱连续，则相应的表示式为drutatr)()(),((4.1.13)rdrutrta)(),()(*(4.1.14))()(*rduru(4.1.15)波函数),(tr在Qˆ表象中用相应的连续的列矩阵表示。(iiii)总结上述，可以给出下述对应关系量子态希尔伯特空间中的态矢量；波函数态矢量在特定基底中的分量，可用列矩阵或用函数表示；任意算符Qˆ的本征函数系Qˆ表象的基；不同表象不同基，不同坐标系；本征函数基矢；厄米算符的本征函数系一组完备的基矢2．算符的表象表示假定在原来的x表象中，波函数),(tx经算符),(ˆxixF作用后变为另一波函数),(tx，即),(),(ˆ),(txxixFtx（4.1.16）nu只是x的函数。将),(tx及),(tx分别按{)(xun}展开)()(),(xutatxmmm（4.1.17）)()(),(xutbtxnnn（4.1.18）则在Qˆ表象中，态和分别由{)(tbn}及)(tan这两个列矩阵表示。将（4.1.17）及（4.1.l8）式代入{4.1.16}式，得)()(xutbmmm),(ˆxixF)()(xutammm（4.1.19）以)(*xun乘（4.1.19）式两端并对x作积分，得mmtb)(dxuxumn)(*),(ˆ)(*xixFxumn)()(tdxaxumm即)(tbn)(taFmmnm（4.1.20）其中nmF),(ˆ)(*xixFxundxxum)(（4.1.21）（4.1.20）式也可直接用矩阵表示为nmnnmmnFFFFFFFFFtbtbtb)()()()()()(tatatam（4.1.21）（4.1.21）式是算符Fˆ在Qˆ表象中的表示。在选定表象后，算符对一个矩阵。这个矩阵的第n行第m列的矩阵元Fnm是算符Fˆ作用在第m个基矢um(x)后得出的函数Fˆ)(xum与第n个基矢)(xun的内积。容易将上述结果推广到连续谱的情况。作为例子，假定Qˆ算符就是动量算符，则Fˆ在动量表象中的矩阵元是xdxxxixFxxFxx)(),(ˆ)()(),(ˆxxxixF（4.1.24）若Fˆ是厄米算符，则它在Qˆ表象所对应的矩阵必为厄米矩阵.的确，对(4.1.21)式取复数共厄并由Fˆ的厄米性得dxxuFxuFmnnm**)](ˆ)[(mnnmFdxuFuˆ*(4.1.25)这说明矩阵F与它的共扼矩阵*~FF相等FF(4.1.26)因此F是厄米矩阵。如果选择的表象就是算符自身的表象，在Qˆ表象中，算符Qˆ对应的矩阵元是dxuQxuQmnnmˆ)(*mnmmnmQdxuxuQ)(*（4.1.27）(4-1.27)式表明:算符在自身的表象中对应对角矩阵，对角线上的元素就是算符的本征值。4.2矩阵力学表述在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用矩阵表述，从而构成矩阵力学。仍以Qˆ表象为例，量子力学公式可通过下述公式表示:[1]波函数)()()(tatatan，)),(),(),((***tatatan（4.2.1）(2)算符Fˆ算符Fˆ用矩阵表示，其矩阵元满足)(tbm)(taFnnnm（m=1,2,…….）nmFdxxuFxunm)(ˆ)(*(4.2.3)(3)平均值公式dxxuFtxFn)(ˆ),(*),(ˆ)(,**xixFxuanmmm)()(tdxaxunnnnmnmmaFa,*（4.2.4）(4)归一条件将波函数及其共扼复数式*按表象的基矢展开，即将(4.1.17)式代入归一条件后，得dxxutaxutadxxxnnnmmm)()()()()()(***mnnnmmtata)()(,*)()(*tatannn(4.2.6)(4.2.6)式用矩阵形式表示为)),(),(),((***tatatan)()()(tatatan=1(4.2.7)或记为（4.2.8）（5）本征值方程算符),(ˆxixF的本征值方程为),(),(),(ˆtxtxxixF（4.2.9）其中为本征值。将Fˆ及在表象中表示出来，可得（4.2.9）式的矩阵形式：nmnnmmFFFFFFFFF)()()(tatatam)()()(tatatam（4.2.10）（4.2.10）式可改写成mnnnmaaF（4.2.11）或nmnnnnFFFFFFFFF)()()(tatatan（4.2.12）方程（4.2.12）式是一个齐次线性代数方程组：,()nnmnnmaF(m=1,2,…,n….)(4.2.13)这个方程组具有非零解的条件是它的系数行列式为零，即nmnnnnmnmnFFFFFFFFFFdet(4.2.14)(4.2.14)式称为久期方程，解久期方程得到一组的值:,,,,n它们就是算符Fˆ的本征值。重根，因为这时体系可能有简并。(6)薛定谔方程将(4.1.7)式代入薛定谬方程Hutikˆ中，可得出在Qˆ表象中的薛定谔方程，为kkkkkkuHtaudtdaiˆ)(（4.2.15）在(4.2.15)式两边左乘*ju，并对空间积分，得kkjkjaHdtdai（j＝1，2，…..）(4.2.16)其中dxuHuHkjjkˆ*（4.2.17）(4.2.16)式用矩阵形式写出来是)()(tatadtditjjjjjHHHHHH)()(tataj（4.2.18）如果选取的表象就是能量表象，即算符Qˆ就是Hˆ。(4.2.17)式中的ku。.就是Hˆ的本征函数，则显然有jkkkjkjkEdxuuEH*（4.2.19）这说明H是个对角矩阵，其对角线上的元素就是能蚤本征值。因此，求能量本征值的问题也就是使Hˆ算符对应的矩阵对角化的问题。如果Hˆ不显含时间t，求解定态的薛定谬方程就是求解哈密顿算符的本征值方程，按前面的讨论，在矩阵力学中可把它归结为算矩阵元jkH及求解一组线性齐次代数方程组，用它代替波动力学中的求解偏微分方程。这里又看到求解薛定谔方程的第三种方案:如果只涉及求薛定谬方程的能谱，即Hˆ的本征值，也可以用矩阵运算的方法，使Hˆ所对应的矩阵对角化而求得。将(4.2.19)式代入(4.2.16)式，得kjjkjkkjtaEtaEdttdai)()()(（4.2.20）(4.2.20)式的解是htiEjjjeata)()(（4.2.21）在能量表象中定态波函数的振幅随时间作简谐振动，这正是波动力学中我们熟知的结果。4.3么正变换设算符Aˆ的本征函数为;),(),(xx算符Bˆ的本征函数为),(),(xx算符Fˆ在A表象中的矩阵元为dxxFxFnmnm)(ˆ)(*(m,n=1,2,…..)(4.3.1)在B表象中的矩阵元为dxxFxFnm)(ˆ)(*(,,,)(4.3.2)为找出A表象和B表象之间的关系，将Bˆ表象中的本征函数)()(xx及按Aˆ表象的本征函数系展开)()(xSxnnn（,,）（4.3.3）***)()(mmmSxx（,,）（4.3.4）(4.3.3)及(4.3.4)式中的展开系数*mnSS及满足nSdxxxn)()(*(4.3.5)*mSdxxxm)()(*(4.3.6)(4.3.3)式和(4.3.4)式可写成矩阵形式，)()()(xxxnnnnnnnS