初一数学绝对值知识点与经典例题

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绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.(距离具有非负性)【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.注意:①取绝对值也是一种运算,运算符号是“||”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5符号是负号,绝对值是5.【求字母a的绝对值】①(0)0(0)(0)aaaaaa②(0)(0)aaaaa③(0)(0)aaaaa利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小.绝对值非负性:|a|≥0如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.例如:若0abc,则0a,0b,0c【绝对值的其它重要性质】(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即aa,且aa;(2)若ab,则ab或ab;(3)abab;aabb(0)b;(4)222||||aaa;(5)||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|a的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.ab的几何意义:在数轴上,表示数a.b对应数轴上两点间的距离.【去绝对值符号】基本步骤,找零点,分区间,定正负,去符号。【绝对值不等式】(1)解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号,转化为一般代数式类型来解;(2)证明绝对值不等式主要有两种方法:A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明:换元法、讨论法、平方法;B)利用不等式:|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例1:已知|x-2|+|y-3|=0,求x+y的值。解:由绝对值的非负性可知x-2=0,y-3=0;即:x=2,y=3;所以x+y=5判断必知点:①相反数等于它本身的是0②倒数等于它本身的是±1③绝对值等于它本身的是非负数【例题精讲】(一)绝对值的非负性问题1.非负性:若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0.2.绝对值的非负性;若0abc,则必有0a,0b,0c【例题】若3150xyz,则xyz。总结:若干非负数之和为0,。【巩固】若7322102mnp,则23_______pnm+【巩固】先化简,再求值:abbaababba2)23(223222.其中a、b满足0)42(132aba.(二)绝对值的性质【例1】若a<0,则4a+7|a|等于()A.11aB.-11aC.-3aD.3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是()A.1,0B.正数C.非正数D.非负数【例3】已知|x|=5,|y|=2,且xy>0,则x-y的值等于()A.7或-7B.7或3C.3或-3D.-7或-3【例4】若1xx,则x是()A.正数B.负数C.非负数D.非正数【例5】已知:a>0,b<0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是()A.1-b>-b>1+a>aB.1+a>a>1-b>-bC.1+a>1-b>a>-bD.1-b>1+a>-b>a【例6】已知a.b互为相反数,且|a-b|=6,则|b-1|的值为()A.2B.2或3C.4D.2或4cba0-11【例7】a<0,ab<0,计算|b-a+1|-|a-b-5|,结果为()A.6B.-4C.-2a+2b+6D.2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x,则有()A.y>0,x<0B.y<0,x>0C.y<0,x<0D.x=0,y≥0或y=0,x≤0【例9】已知:x<0<z,xy>0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值()A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号【例10】给出下面说法:(1)互为相反数的两数的绝对值相等;(2)一个数的绝对值等于本身,这个数不是负数;(3)若|m|>m,则m<0;(4)若|a|>|b|,则a>b,其中正确的有()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)【例11】已知a,b,c为三个有理数,它们在数轴上的对应位置如图所示,则|c-b|-|b-a|-|a-c|=_________【巩固】知a、b、c、d都是整数,且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2,求|a+d|的值。【例12】若x<-2,则|1-|1+x||=______若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|=________【例13】计算111111....23220072006=.【例14】若|a|+a=0,|ab|=ab,|c|-c=0,化简:|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=________【例15】已知数,,abc的大小关系如图所示,则下列各式:①()0bac;②0)(cba;③1ccbbaa;④0abc;⑤bcabcba2.其中正确的有.(请填写番号)【巩固】已知:abc≠0,且M=abcabc,当a,b,c取不同值时,M有____种不同可能.当a、b、c都是正数时,M=______;当a、b、c中有一个负数时,则M=________;当a、b、c中有2个负数时,则M=________;当a、b、c都是负数时,M=__________.【巩固】已知abc,,是非零整数,且0abc,求abcabcabcabc的值(三)绝对值相关化简问题(零点分段法)零点分段法的一般步骤:找零点→分区间→定符号→去绝对值符号.【例题】阅读下列材料并解决相关问题:ca0b我们知道0000xxxxxx,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式12xx时,可令10x和20x,分别求得12xx,(称12,分别为1x与2x的零点值),在有理数范围内,零点值1x和2x可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况:⑴当1x时,原式1221xxx⑵当12x≤时,原式123xx⑶当2x≥时,原式1221xxx综上讨论,原式211312212xxxxx≤≥(1)求出2x和4x的零点值(2)化简代数式24xx解:(1)|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4.(2)当x<-2时,|x+2|+|x-4|=-2x+2;当-2≤x<4时,|x+2|+|x-4|=6;当x≥4时,|x+2|+|x-4|=2x-2.【巩固】化简1.12xx2.12mmm的值3.523xx.4.(1)12x;变式5.已知23xx的最小值是a,23xx的最大值为b,求ba的值。(四)ba表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离.【例题】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2,3与5,2与6,4与3.并回答下列各题:(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?答:.(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离可以表示为.(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为,取得最小值时x的取值范围为.(4)满足341xx的x的取值范围为.(5)若1232008xxxx的值为常数,试求x的取值范围.(五)、绝对值的最值问题例题1:1)当x取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?2)当x取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?3)当x取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?4)当x取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?例题2:1)当x取何值时,-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?2)当x取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?3)当x取何值时,-|x-1|-3有最大值,这个最大值是多少?4)当x取何值时,3-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?若想很好的解决以上2个例题,我们需要知道如下知识点:、1)非负数:0和正数,有最小值是02)非正数:0和负数,有最大值是03)任意有理数的绝对值都是非负数,即|a|≥0,则-|a|≤04)x是任意有理数,m是常数,则|x+m|≥0,有最小值是0,-|x+m|≤0有最大值是0(可以理解为x是任意有理数,则x+a依然是任意有理数,如|x+3|≥0,-|x+3|≤0或者|x-1|≥0,-|x-1|≤0)5)x是任意有理数,m和n是常数,则|x+m|+n≥n,有最小值是n-|x+m|+n≤n,有最大值是n(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n0)或者向左(n0)平移了|n|个单位,为如|x-1|≥0,则|x-1|+3≥3,相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位,|x-1|≥0,有最小值是0,则|x-1|+3的最小值是3)例题1:1)当x取何值时,|x-1|有最小值,这个最小值是多少?2)当x取何值时,|x-1|+3有最小值,这个最小值是多少?3)当x取何值时,|x-1|-3有最小值,这个最小值是多少?4)当x取何值时,-3+|x-1|有最小值,这个最小值是多少?解:1)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|有最小值是02)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|+3有最小值是33)当x-1=0时,即x=1时,|x-1|-3有最小值是-34)此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3,即当x-1=0时,即x=1时,|x-1|-3有最小值是-3例题2:1)当x取何值时,-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?2)当x取何值时,-|x-1|+3有最大值,这个最大值是多少?3)当x取何值时,-|x-1|-3有最大值,这个最大值是多少?4)当x取何值时,3-|x-1|有最大值,这个最大值是多少?解:1)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|有最大值是02)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|+3有最大值是33)当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|-3有最大值是-3总结:根据3)、4)、5)可以发现,当绝对值前面是“+”号时,代数式有最小值,有“-”号时,代数式有最大值.4)3-|x-1|可变形为-|x-1|+3可知如2)问一样,即:当x-1=0时,即x=1时,-|x-1|+3有最大值是3(同学们要学会变通哦)思考:若x是任意有理数,a和b是常数,则1)|x+a|有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?2)|x+a|+b有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?3)-|x+a|+b有最大(小)值?最大(小)值是多少?此时x值是多少?例题3:求|x+1|+|x-2|的最小值,并求出此时x的取值范围分析:我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程:可令x+1=0和x-2=0,得x=-1和x=2(-1和2都是零点值)在数轴上找到-1和2的位置,发现-1和2将数轴分为5个部分1)当x-1时,x+10,x-20,则|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12)当x=-1时,x+1=0,x-2=-3,则|x+1|+|x-2|=0+3=33)当-1x2时,x+10,x-20,则|x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=34)当x=2时,x+1=3,x-2=0,则|x+1|+|x-2|=3+0=35)当x2时,x+10,x-20,则|x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现:当x-1时,|x+

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