数系的扩充和复数的概念

数系的扩充和复数的概念1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a、b是____，i叫做________，a叫做复数的____，b叫做复数的____．②表示方法：复数通常用z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)．(2)复数集①定义：由________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母__表示．实数虚数单位实部虚部全体复数C实数虚数2.复数的分类及包含关系复数可以分类如下:(,)zabiabR________(0)________(0)__________(0)___________(0)bzabiaba纯虚数非纯虚数3．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔___________；a＋bi＝0⇔________.a＝c，b＝da＝b＝0问题探究1．复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？提示：不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部，n才是虚部．2．复数就是虚数吗？提示：复数与虚数不是同一个概念，现在所见的所有数都是复数，它包括实数和虚数两大部分．3．两个复数能否比较大小？提示：对于复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当b＝0时能比较大小，当b≠0时，不能比较大小．即两个不全是实数的复数不能比较大小．规定i与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原有的加、乘运算律仍然成立，即与原数集不矛盾．复数的概念和性质题型一判断下列说法是否正确．(1)当z∈C时，z2≥0.(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．(3)若ab，则a＋ib＋i.(4)若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1.例1【思路点拨】根据复数的概念可以判定．【解】(1)错误．当且仅当z∈R时，z2≥0成立．若z＝i，则z2＝－10.(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i＝(－1＋1)i＝0·i＝0∈R.(3)错误．两个虚数不能比较大小．(4)错误．当且仅当x，y∈R时，x，y才是x＋yi的实部和虚部．此时x＋yi＝1＋i的充要条件才是x＝y＝1.【思维总结】数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．变式训练1下列命题：①若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则x＝±1；②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．分析:在①中，若x＝－1，则不成立；②若a＝0，则ai不是纯虚数．③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知：所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．答案：0复数z＝a＋bi(a、b∈R)，根据a，b的取值可分为实数、虚数及纯虚数．复数的分类题型二当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．例2【解】(1)当m2－2m＝0m≠0，即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；(3)当m2＋m－6m＝0m2－2m≠0，即m＝－3时，复数z是纯虚数．【思维总结】利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部、虚部应满足的条件，求参数时，可据此列出方程组求解．互动探究2将本例改成：是否存在实数m，使z＝(m2－2m)＋m2＋m－6mi是纯虚数？解：由z＝(m2－2m)＋m2＋m－6mi是纯虚数，得m2－2m＝0m2＋m－6m≠0，解得：m∈∅.即不存在实数m，使z＝(m2－2m)＋m2＋m－6mi是纯虚数．已知x，y均是实数，且满足(2x－1)＋i＝－y－(3－y)i，求x与y.例3复数相等及应用题型三【解】由复数相等的充要条件得2x－1＝－y，1＝y－3.解得x＝－32，y＝4.∴x＝－32，y＝4.互动探究3若本例条件变为x、y∈R，且满足(2x－t)＋i＝－y－(t＋y)i.求点(x，y)满足的轨迹．解：由题意可得2x－t＝－y①－t－y＝1②.①－②得2x＋y＝－y－1，即2x＋2y＋1＝0.∴点(x，y)的轨迹为直线2x＋2y＋1＝0.1．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面．方法感悟2．两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等．要先确定是否为代数形式，确定实部、虚部后再应用.3．把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要．失误防范1．一般地，两个复数只能相等或不相等，不能比较大小．2．确定复数的实部和虚部时，不要只根据复数的形式：x＋yi，还要看x、y是否为实数，同时还要使x、y有意义．小结1.复数的概念及其性质2.复数的分类3.复数相等的条件及其应用