数论高难度练习题-答案版

成都学而思教研组数论余数部分练习题【1】1013除以一个两位数得到的余数为12，这个两位数有种可能的取值．【分析】根据题意可知，这个两位数是1013121001的约数，而且大于12；由于100171113，两位数约数有11、13、77、91，其中11不满足，所以这个两位数有3种可能的取值．【2】（2009年第七届走美六年级初赛）1234567891011121314……20082009除以9，商的个位数字是。【分析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除。由于200992232，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.【3】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是．【分析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为，所以第2008个数除以6余1．【3】(2008年101中学考题)2008222008除以7的余数是．【分析】328除以7的余数为1，200836691，所以200836691366922(2)2＋，其除以7的余数为：669122；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008除以7的余数为：213．【4】(第六届走美决赛六年级试题)M,N为非零自然数，且20072008MN被7整除．MN的最小值为【分析】20075(mod7)200866691成都学而思教研组2220075(mod7)4(mod7)3320075(mod7)45(mod7)6(mod7)4420075(mod7)65(mod7)2(mod7)5520075(mod7)25(mod7)3(mod7)6620075(mod7)35(mod7)1(mod7)7720075(mod7)15(mod7)5(mod7)因此2008N除以7的余数为5，4，6，2，3，1，六个一循环同理，1两个一循环，因此20072008MN被7整除，2007M除以7的余数与2008N除以7的余数的和为7，又要求MN最小，MN的最小值为325【5】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25．这3个余数中最大的一个是多少？【分析】由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以639013025258能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为3213，3316，36115，所以均不能满足条件.当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满足．那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数的和为25，满足，其中最大的是20．【6】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？【分析】设这个数为M，则11603MAr22939MAr33393MAr122rr,232rr,要消去余数1r,2r,3r,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减．这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．这样我们可以得到下面的式子：11603MAr22939222MAr成都学而思教研组33393424MAr这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．93926031275，3934603969，1275,96951317．经检验A等于17．【7】有一类四位数，它们恰好是自己的各位数字之和的83倍，那么这样的四位数有个．【分析】因为原四位数恰好是自己的数字和的83倍，而一个数除以9的余数与它的数字和除以9的余数相等，那么这个数与它的数字和的差就是9的倍数，所以本题中原四位数减去它的数字和后(即数字和的82倍)是9的倍数；而82,91，所以数字和是9的倍数，原数是839747的倍数，又因为是原数是四位数，各位数字之和最多为36，所以原数至多是83的36倍，也就是至多是747的4倍．依次检验：74721494符合，而74732241和74742988均不符合．所以满足条件的四位数只有1个．【8】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于3,5,11165，所以这个数最小是1657172．法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．【9】一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？【分析】注意到72835，也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍数．这个数又小于200，因此这个数只可能是565，5625，5635，经检验发现只有5635163被9除余1符合要求，因此该数为163．【10】有连续的三个自然数a、1a、2a，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？【分析】仔细观察，可知由于a、1a、2a恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a、18a、27a也分别是9、8、7的倍数，即9a是9、8、7的公倍数，那么9a的最小值是987504，即a至少是5049495．【11】一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一成都学而思教研组个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于2104719871不超过10000，而21048110080大于10000．所以在10000以内被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是201471，这样满足条件的自然数共有47个．说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．【12】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n，则其余两个自然数分别为1n，2n．依题意可知：15|n，17|1n，19|2n，根据整除的性质对这三个算式进行变换：15|15|215|21517|117|2217|215[15,17,19]|21519|219|2419|215nnnnnnnnnn从上面可以发现215n应为15、17、19的公倍数．由于[15,17,19]4845，所以215484521nk(因为215n是奇数)，可得48452415nk．当1k时2430n，12431n，22432n，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432．【13】（第13届日本算术奥林匹克预赛试题高小组）有四个连续的都大于1的整数A、B、C、D（A＜B＜C＜D）。这四个整数按照顺序分别是7、9、11、13的倍数，求符合以上条件的A、B、C、D组合的最小的A。【分析】令四个数分别是a，a+1,a+2,a+3，则他们分别是7、9、11、13的倍数，则相当于a除以7余0，a除以9余8；a除以11余9；a除以13余10。则2a用9除余7；用11除余7；用13除余7。且2a是显然还是7的倍数，也可以认为是用7除余7。则(2a-7)是7、9、11、13的倍数。7×9×11×13=9009。所以2a=9016.a=4508。所以符合条件的a的最小值为4508。【14】试求105253168的末两位数．【分析】分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．成都学而思教研组首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的余数也是0．再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余18，则只需看51832432418除以25的余数，可知余数为18；又2418432除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．【15】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．【分析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．设这个数分解质因数之后为235abc，则根据题意可知，a是3和5的倍数，且除以2余1；b是2和5的倍数，且除以3余2；c是2和3的倍数，且除以5余4．可以求得a、b、c的最小值分别为15、20、24，所以这样的自然数最小为152024235．【16】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【分析】根据“和的余数等于余数的和”，将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期，所以第2008项被3除所得的余数为0.【17】（2008年第六届走美五年级初赛第8题）20086ab,,ab均为自然数．a有____________种不同的取值．【分析】由20086ab可知，ab+6=2008，ab=2002。又因为2002=2×7×11×13，而且a6，所以a的取值有：3+2344CC+1=14（种成都学而思教研组【18】（2009年第14届华杯赛试题）在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.【分析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a（a﹤57），则这个数为57×a+a=58a。所以58a﹥2009，得到a﹥2009÷58=373458，由于a为整数，所以a至少为35.又由于a﹤57，所以a最大为56，则a可以为35，36，37，…，56.由于每一个a的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。【19】（2009年第七届走美初赛六年级第8题）有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有_________个是5的倍数。【分析】由于两个数的和除以5的余数等于这