“香蕉球”的力学原理以及偏离距离

第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文题目：“香蕉球”的力学原理以及偏离距离系别：物电系专业：物理学班级：2004级1班姓名：席先博谢佐杰时间：2007年5月第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文2“香蕉球”的力学原理以及偏离距离席先博谢佐杰摘要：从足球、乒乓球的击球方式和流体动力性能出发,建立力学模型,讨论了“香蕉球”的力学原理以及偏离的距离,得到了弧线球的运动规律及其横向偏离距离的定量结果.关键词：香蕉球;旋球;流体;力学原理;运动规律;偏离距离。TheMechanicsPrincipleOfBananaBallandItsDeflectionDistanceXiXianboXieZuojie(Dept.ofPhysics＆EelectronicInpormationEngineering,NeijiangTeachersCollege,Neijiang,SiChuan,641112)AbstractThemechanicsmodelisconstructedbasedonthewayofhittingfootballandpingpongandthedynamicpropertiesoffluid.bingforward“additionforce”notion.Thediscussionalsoarrivesatthequantitativeresultsoftheball’sdeflectiondistance.KeyWordsbananaball,swirlingball,fluid,mechanicstheory,theruleoftheball’smovement,deflectiondistance.1引言所谓“香蕉球”就是在足球场上用脚踢球，而球飞行的轨迹围绕某一个点公转，呈弧线状态，像是香蕉一样，这种运行状态的球，被称为“香蕉球”。诸如此类的还有不少，比如“落叶球”，“弧圈球”（乒乓）等等[6]。下面我们来具体分析这种球发生弯曲的力学原理以及偏离的距离。2力学模型旋转球在空中飞行时，球在向前运动的同时也在旋转。在讨论旋转球问题时，我们以球为参照物建立质心参考系。在这个质心参考系中，流体在运动。如果空气是理想流体，与球之间没有相互作用，球的运动与它是否旋转无关。但实际空气是粘性流体，它对旋转球有阻力、同时也受到球的作用，在球各侧面的空气对球相对速度不同，产生了压力差，形成了一个“附加作用力”，使球改变运动方向。而且足球在前进中受到了粘滞阻力和压差阻力。第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文32.1粘滞阻力在流体缓慢流过静止的物体或者物体在流体中运动时，流体内各部分流动的速度不同，存在粘滞阻力。粘滞阻力的大小与物体的运动速度成正比，即f∝v，可以写为f=C1v，C1称为粘滞阻力系数。斯托克斯测出球形物体在流体中缓慢运动时，所受到的粘滞阻力大小为[1]:f=6vrph（1）上式称为斯托克斯公式，式中的v为球体前进的速度、r为球体的半径、η为流体的粘性系数（粘性系数由流体自身的性质决定，与流体的种类、流体的温度等一些因素有关。在国际单位制中，粘性系数的单位是Pa·s）。下面表1给出了空气在不同温度下的粘性系数：名称空气空气空气温度0Co10Co20Co粘性系数1.71×10-51.78×10-51.81×10-5表1空气粘滞系数很小，因而粘滞阻力使球体旋转角速度速度减小得慢。2.2压差阻力当流体运动遇到物体时，流体会被物体分开，从物体的不同侧面流过。如果流体具有一定的粘性，靠近物体的那部分流体的速度将减慢，在物体的后面一侧形成“真空”地带，离物体较远处的流体将向这个“真空”地带补充，图（1）[8]为球体所形成湍流的示意图，由图可见在物体后方形成了“尾流”。此时，物体前后两部分流体内单位体积分子数不同，前后侧面受到流体的压力不同，使得物体受到流体的阻力，这种阻力称为压差阻力。在理论力学中所说的“物体运动时受到空气与速度二次方成正比的阻图1压差阻力第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文4力”，指的就是空气对物体的压差阻力，压差阻力的大小与物体运动速度的平方成正比，即f∝v2，可以写为f=C2v2压差阻力的大小与流体的密度、物体的速度有关。空气密度为ρ、球体的半径为r、在垂直于运动方向的面积为A（A=πr2）球体在流体中以速度v运动时，受到如图1所示的压强和压力。运动的球体所受压差阻力大小为[3]：22DvfCAr=(2)由（2）式知足球受空气阻力与速度二次方成正比，该阻力的影响使得球的平动速度减小得快。2.3附加作用力流体在层流时，遵从连续性方程和伯努利方程。连续性方程是物质质量守恒的体现，说明在每一个时刻，空间每一个区域内的质量不变，其数学表达式为[2]：1122vvrr=(3)伯努利方程是物质能量守恒的体现，说明在流体稳定流动的每一个时刻，空间每一个区域内的能量不变，其数学表达式为[7]：2212112222vvpghpghrrrr++=++(4)式中p1、p2、h1、h2、v1、v2、分别为流体在1、2两点处的压强、高度和速度。根据连续性方程和伯努利方程，如图2所示可以看出：即使1、2两点的高度相同，当它们之间的流体速度有差别时，两点间也产生压强差。在图（2)[8]中，气体从球体流过，流动情况如图所示。因为从球体右方流过的气体速度v1比从球体左方流过的气体速度v2大，所以在球体左方的气体的压强p1比球体右方气体的压强p2小。产生了一个向左的力。结果足球一面向前走，一面承受一个把它推向左的力，这个力也就是所说的“附加作用力”，造成了弯曲球，也就是所说的香蕉球。图2流体对运动球体的压强第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文53运动规律以及偏移轨迹方程足球运动员用脚踢球的某个侧面，使得足球旋转着飞出，成为“香蕉球”。假设这个球是“左旋”的（图3）、半径为r，球的质心以速度v向前运动，球旋转的角速度为w。选用质心参考系，此时空气整体上以速度v向后运动；与球面接触的空气在球面的作用下绕球转动。在球面处的空气与球面相对静止，以角速度ω绕球心转动。对于质心，球左侧空气向后方运动，相对球的速度加大；球右侧空气前方运动，相对球的速度减小。球左侧空气的速度为v1＝v+rω、右侧空气的速度为v2＝v–rω。左侧空气速度v1大于右侧空气速度v2[4]。根据伯努利方程[7]可知:2212112222vvpghpghrrrr++=++(5)因为球的左右两个侧面高度1h、2h基本相同，所以方程可写为：22121222vvpprr+=+(6)221221P()22vvPr-=-(7)代入速度1v、2v得：2221()()P()22vrvrPwwr+--=-(8)化简得：21P=P2Prvrw-=(9)由上式可知，足球左侧空气压强p1小于右侧空气压强p2,左旋球受到一个向左的“附加作用力”。假设在空气压强垂直作用的面积为S（S=πr2）根据压强的定义可得：FPS=(10)FPS=(11)所以这个“附加作用力”为：第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文621()FPPSPS=-??(12)代入（9）、S得：2322Fvrrvrrwprwp==(13)根据牛顿第二定律可得：FFmaam=?(14)则根据运动微分方程[5]：22dxmfdt=-压(15)因为：22DvfCAr=压(16)根据22dxdvmmdtdt=，（16）代入（15）式，微分方程可以表示成为：22DdvvmCAdtr=-(17)2dvmkvdt=-（设2DCAkr=）(18)积分：2dvkdtvm=-蝌(19)11ktcvm-=-+(20)代如初始条件:0t=,0vv=得：101cv=-(21)所以：00mvvmkvt=+(22)dsvdt=则0000lntmkvtmmvmsdtmkvtk+==+ò(23)我们可以求出飞行的时间为：0ksmmemtkv-=(24)第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文7根据运动微分方程[6]：22SdmFdt=偏(25)代入初始条件t=0,S偏=0和（18）积分得：2012ksmfmemsmkv骣÷ç÷-ç÷ç=÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫偏(26)代入（13）式得：230122ksmvrmemsmkvrwp骣÷ç÷-ç÷ç=÷ç÷ç÷ç÷÷ç桫偏(27)已知空气的密度31.29/kgmr=，0.24/DCkgm=，2Arp=，/2DkCAr=，10.8rcm=，450mg=代入数据化简得:()20.01250.01250171.4ssesvew-=偏(28)(28)式表明,旋转球轨迹的弯曲程度，即偏移距离S偏与球踢出的初速度v0、旋转角速度w和水平前进距离s有关。4偏移距离方程的验证某足球员在一次踢旋球中，以初速度v0=20m/s，角速度w=14.6s-1，当水平前进距离s=25m时，实际测得偏移距离S偏=5m[1]，而由（33）式计算得到S偏=5.13m（见表2）尽管（28）式是近似解析式，但比较表明，近似结果比较好。表2偏离距离s偏与水平前进距离s的理论值（单位：m）s05101520253000.200.811.843.275.137.41由（2）和（27）式可以知道，偏移距离S偏与空气密度也有关，在空气稀薄的地区，例如墨西哥城，“附加作用力”减小，此外，还与空气阻力系数c有关，c越大，空气阻力的作用使球前进的速度减小越快，但其偏移距离S偏增加，亦即球的弧线轨迹的曲率增大。从上分析我们可以得到香蕉球的运动轨迹如图4[8]所示：第五届科技活动周论文征集大赛（理科组）论文8因此在足球中，当球证判了罚球，射手前面筑起了人墙，大家都很紧张。这时候，射手踢出一个带有旋转的球，在这个“附加作用力”的作用下，球将向一边偏转，偏转的程度与球旋转角速度和速度的大小有关。由于其他运动员无法预先知道球转动的方向、转动的角速度，所以无法判定球将如何运动。球就巧妙地绕过人墙，守门员来不及反应，一冲入网！参考文献：［1］葛隆祺,叶卫军.足球旋转球的运动规律[J].物理通报,1992(2).［2］葛隆祺.弧线球运动规律的探讨[J].大学物理,1991(7).［3］陈世民.理论力学简明教程[M].高等教育出版社,2001.［4］李学慧主编，高峰副主编.大学物理实验[M].高等教育出版社,1981［5］赵凯华,罗蔚茵.力学[M].高等教育出版社,1996.［6］刘大为.球体飞行轨迹异常的探讨[J].大学物理,1987(1).［7］徐有恒，穆晟.基础流体实验[M].复旦大学出版社出版,1990(10)［8］叶禹卿.物体在流体中运动所受到的作用力[M].高等教育出版社,1996.图4“香蕉球”的运动高压区低压区