罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用

第3章中值定理与导数的应用内容概要名称主要内容（3.1、3.2）3.1中值定理名称条件结论罗尔中值定理)(xfy：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b内可导；（3）)()(bfaf至少存在一点)(a,bξ使得0)(/ξf拉格朗日中值定理)(xfy：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b内可导至少存在一点)b,a(使得)(/ξfabafbf)()(柯西中值定理)(xf、)(xg：（1）在][a,b上连续，在)(a,b内可导；（2）在)(a,b内每点处0)(/xg至少存在一点)(a,bξ使得abafbfξgξf)()()()(//3.2洛必达法则基本形式00型与型未定式通分或取倒数化为基本形式1）型：常用通分的手段化为00型或型；2）0型：常用取倒数的手段化为00型或型，即：0001/0或01/0；取对数化为基本形式1）00型：取对数得00ln00e，其中000ln001/0或0ln001/0；2）1型：取对数得ln11e，其中00ln101/0或ln101/0；3）0型：取对数得ln00e，其中000ln01/0或0ln01/0。课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值。（1）]511[32)(2.,,xxxf；（2）]30[3)(,,xxxf。知识点：罗尔中值定理。思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/ξf，得到的根ξ便为所求。解：（1）∵32)(2xxxf在]511[.,上连续，在)5.1,1(内可导，且0)51()1(.ff，∴32)(2xxxf在]511[.,上满足罗尔定理的条件。令()410fξξ得)511(41.,ξ即为所求。（2）∵xxxf3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(ff，∴xxxf3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令()3023ξfξξξ，得)30(2,ξ即为所求。★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423xxxy在区间]10[,上的正确性。知识点：拉格朗日中值定理。思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10fffξ，若得到的根]10[,ξ则可验证定理的正确性。解：∵32()452yfxxxx在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423xxxy在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又2)0(2)1(,ff，2()12101fxxx，∴要使(1)(0)()010fff，只要：513(01)12,，∴513(01)12,，使(1)(0)()10fffξ，验证完毕。★3.已知函数4)(xxf在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。解：要使(2)(1)()21fffξ，只要33154154ξ，从而315(12)4ξ,即为满足定理的。★★4.试证明对函数rqxpxy2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。证明：不妨设所讨论的区间为][a,b，则函数rqxpxy2在][a,b上连续，在)(a,b内可导，从而有()()()fbfafξba，即abrqaparqbpbqξ)()(222，解得2abξ，结论成立。★5.函数3)(xxf与1)(2xxg在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。知识点：柯西中值定理。思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程()()()()()()fξfbfagξgbga，得到的根ξ便为所求。解：∵3)(xxf及2g()1xx在]21[,上连续，在)21(,内可导，且在)21(,内的每一点处有()20gxx，所以满足柯西中值定理的条件。要使()(2)(1)()(2)(1)fξffgξgg，只要37232ξξ，解得)21(914,ξ，ξ即为满足定理的数值。★★★6.设)(xf在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(f。求证：存在)10(,ξ，使()()fξfξξ。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：从ξξfξf)()(/结论出发，变形为0)()(/ξfξξf，构造辅助函数使其导函数为)()(/xfxxf，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常用的方法。证明：构造辅助函数)()(xxfxF，()()()Fxfxxfx根据题意)()(xxfxF在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(1)1(fF，0)0(0)0(fF，从而由罗尔中值定理得：存在)10(,ξ，使()()()0Fξfξξfξ，即()()fξfξξ。注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使()()fxfxx，只要()1[()][ln()][ln][ln()]00[()]0()()fxxfxfxxxfxxfxfxxxfx∴只要设辅助函数)()(xxfxF★★7.若函数)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，且)()()(321xfxfxf)(321bxxxa，证明：在)(31,xx内至少有一点ξ，使得()0fξ。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：连续两次使用罗尔中值定理。证明：∵)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，∴)(xf在][21,xx、][32,xx内连续，在)(21,xx、)(32,xx内可导，又)()()(321xfxfxf，∴由罗尔定理，至少有一点)(211,xxξ、)(322,xxξ，使得1()0fξ、2()0fξ；又()fx在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，从而由罗尔中值定理，至少有一点)(21,ξξξ)(31,xx，使得()0fξ。★★8.若4次方程043223140axaxaxaxa有4个不同的实根，证明：0234322130axaxaxa的所有根皆为实根。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。证明：令43223140)(axaxaxaxaxf则由题意，)(xf有4个不同的实数零点，分别设为4321,x,x,xx，∵)(xf在][21,xx、][32,xx、][43,xx上连续，在)(21,xx、)(32,xx、)(43,xx上可导，又0)()()()(4321xfxfxfxf，∴由罗尔中值定理，至少有一点)(211,xxξ、)(322,xxξ、)(433,xxξ使得123()()()0fξfξfξ，即方程0234322130axaxaxa至少有3个实根，又三次方程最多有3个实根，从而结论成立。★★★9.证明：方程015xx只有一个正根。知识点：零点定理和罗尔定理的应用。思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。解：令1)(5xxxf，∵)(xf在]10[,上连续，且01)1(f，01)0(f，∴由零点定理，至少有一点)10(,ξ，使得01)(5ξξξf；假设015xx有两个正根，分别设为1ξ、2ξ（21ξξ），则)(xf在在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，且0)()(21ξfξf，从而由罗尔定理，至少有一点)(21,ξξξ，使得4()510fξξ，这不可能。∴方程015xx只有一个正根。★★10.不用求出函数)4)(3)(2)(1()(xxxxxf的导数，说明方程()0fx有几个实根，并指出它们所在的区间。知识点：罗尔中值定理的应用。思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。解：∵)4)(3)(2)(1()(xxxxxf在]21[,、]32[,、]43[,上连续，在)21(,、)32(,、)43(,内可导，且0)4()3()2()1(ffff，∴由罗尔中值定理，至少有一点)21(1,ξ、)32(2,ξ、)43(3,ξ，使得123()()()0fξfξfξ，即方程()0fx至少有三个实根，又方程()0fx为三次方程，至多有三个实根，∴()0fx有3个实根，分别为)21(1,ξ、)32(2,ξ、)43(3,ξ。★★★11.证明下列不等式：（1）babaarctanarctan；（2）当1x时，exex；（3）设0x，证明xx)1(ln；（4）当0x时，xx11)11(ln。知识点：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数()yfx，通过式子()()()fbfafξba（或()()()()fbfafξba）证明的不等式。证明：（1）令xxfarctan)(，∵)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内可导，∴由拉格朗日中值定理，得21arctanarctan()()1abfξbababaξ。（2）令xexf)()1(x，∵)(xf在]1[,x上连续，在)1(,x内可导，∴由拉格朗日中值定理，得eex)(xeξ1，∵xξ1，∴eexxexeeeξx)1()1(，从而当1x时，exex。（3）令)1ln()(xxf)0(x，∵)(xf在]0[,x上连续，在)0(,x内可导，∴由拉格朗日中值定理，得1ln(1)ln(1)ln(10)()(0)1xxfξxxξ，∵xξ0，∴xxξ11，即0x，xx)1ln(。（4）令xxfln)()0(x，∵)(xf在]1[xx,上连续，在)1(xx,内可导，∴由拉格朗日中值定理，得11ln(1)ln(1)ln()(10)xxfξxξ，∵xξx1，∴xξ111，即当0x时，xx11)11ln(。★★12.证明等式：)1(12arcsinarctan22xπxxx.知识点：()0()fxfxC（C为常数）。思路：证明一个函数表达式)(xf恒等于一个常数，只要证()0fx证明：令)1(12arcsinarctan2)(2xxxxxf，当1x时，有π1arcsin1arctan2；当1x时，有2222222222212(1)222122()1(1)1(1)121()1xxxxfxxxxxxxx0)12(1222xx，∴()(1)fxCf；∴)1(12arcsinarctan22xπxxx成立。★★★13.证明：若函数)(xf在)(,-内满足关系式()()fxfx，且1)0(f，则xexf)(。知识点：()0()fxfxC思路：因为()()1xxfxeefx，所以当设()()xFxefx时，只要证()0Fx即可证明：构造辅助函数()()xFxefx，则()()()0xxFxefxefx；∴()(0)1xF(x)efxCF∴xexf)(。★★★14.设函数)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内有二阶导数，且有bcac,fbfaf)(0)(0)()(，试证在)(a,b内至少存在一点ξ，使()0fξ。知识点：拉格朗日中值定理的应用