高校学费问题7(国2)

008高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：Ｂ我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：1320810所属学校（请填写完整的全名）：中南民族大学参赛队员(打印并签名)：1.钟丽2.李宁3.孙剑指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：2008年9月22日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1B题高等教育学费标准探讨摘要本文通过对统计年鉴中教育费用等数据进行详细分析，结合各地区不同学校、不同专业的实际情况，制定出了期望收费标准。首先，从宏观角度分析：以19992005的各年教育经费总投入()rt为基础数据，建立了(1,1)GM灰色预测模型,确立历年的教育总投入函数(1)ˆ(1)rk；通过指数拟合得到受高等教育的在校生数量函数为()Nt，根据该函数得2008年人均期望分担的学费1()Pt为5458元。接着，我们从微观角度分析：建立了以生均学费2()Pt最小为目标函数，以政府财政拨款与学费之和不小于固定成本()rt；生均学费小于个人分担的教育成本上限()dt为约束条件建立优化模型。该模型求解得到2008年生均分担的学费最小值2()Pt为4857元。由于两模型所得结果的偏离不大，故将其调和平均5163元作为期望学费。然后，对于相同省份相同学校的不同专业定义偏离系数d等于所求专业热度r与已知专业热度r的差值除与最值热度差,根据热度r排行求出相应的学费；对于相同省份不同学校的相同专业学费建立以学校的软件、硬件设施、毕业生就业率、就业情况、就业满意度为评价集的灰色关联度模型，对评价因子等权值加权处理后计算偏离度d，依照学校的排名得到对应的学费if；对于不同省份相同学校的相同专业，利用省份的人均GDP之间的差异得到地区发展不均衡系数i，其与已知专业费用的乘积即为相应学费f。从而又得到一个不同层次收费标准的收费模型。最后，我们以经济学中“成本分担”理论为指导，建立了学费分别与人均分担教育成本成正相关、贫困生人均未支付费用成负相关、生均获得教育利益成正相关的微分方程模型对上述模型进行了改进，从而使得模型适用性更加广泛。关键词灰色预测灰色关联度线型规划热度期望收费标准2一、问题重述高等教育承载着传递知识技能和知识技能创新的重任，对社会的发展产生了直接和间接效益。培养质量是高等教育的一个核心指标，质量的提高必须以教育经费作保障。高等教育经费由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。其中的学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证教育质量,因此合理的教育收费,事关国家教育事业的发展.高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金要求我们搜集国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，建立相应的模型，并就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论，要求观点鲜明、分析有据、结论明确，最后根据结果给有关部门写一份报告，提出具体建议。二、符号说明1()Pt第t年宏观期望生均学费2()Pt第t年微观期望生均学费()Nt第t年全国高等院校在校学生总人数()rt第t年所投资的教育经费总额()st第t年所有学生应缴学费总额()qt第t年投资教育经费中学费所占的比重m高等院校的类数n专业的种数3三、模型假设3.1学费标准以年为单位。3.2专业总数及排名在考虑的时间范围内是不变的。3.3学校总数及相应的类别在考虑的时间范围内是不变的。3.4专业排名以往年全国整体排名为基准，对各学校内部的专业排名不予考虑。3.5同一类别学校对各地区收费一致3.6实际招生人数即为在校学生人数，对于其中的退学留级人数忽略不计。四、模型建立与求解下面的思路流程图是我们文章结构的一个缩影，它完整而形象的反映了我们文章的建模思路。总教育经费财政支出社会捐助学校自筹其他费用学费杂费地区差异专业热度学校类别最适学费家庭条件限制44.1模型一建立与求解4.1.1问题分析因为搜集到的数据信息很庞大，而且比较繁琐，这是学费影响因素多元化所决定的。对于学费标准的制定，与国家生均拨款、培养费用、家庭收入、学校所在地区差异、学校的等级高低、专业热门程度等方面有着多多少少的联系。具体到每个细节入手非常的困难，所以我们先从宏观角度来研究总的学费平均到每个学生的额数，即宏观期望生均学费。4.1.2模型建立4.1.2.1(1,1)GM模型灰色估计总教育经费我国从99年开始扩招，且根据搜集到的较完整的数据信息，我们选取1999年至2005年的数据来进行分析。（1）(1,1)GM模型实现方法a.生成列为了弱化原始时间系列的随机性，在建立灰色预测模型之前，先对原始时间序列进行累加处理，经过处理后的时间序列即为生成列。b.灰色时间序列用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。（2）实现步骤下面根据1999-2005年关于教育经费的数据[1][7]，以1999年为基准年，用统计的方法得出其教育经费总数，如表4-1（时间t单位为年，总教育经费()rt单位为千万元），表4-11999-2005年总教育经费()rtt1999200020012002200320042005()rt7646.59831.412475.515832.118736.822576.526578.6再用灰色系统预测未来总教育经费的增长情况，具体计算步骤如下：第一步：1999-2005年的总教育经费的原始数据列(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0){(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7)}Rrrrrrrr，作一次累加生成运算，用公式(1)(0)1()(),1,2,,7kirkrik得到一次累加生成序列(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(0){(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7)}Rrrrrrrr。第二步：确定数据矩阵5(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]121[(2)(3)]121[(6)(7)]12rrrrBrr和(0)(0)(0)(2),(3),,(7)Tnyrrr，代入B和ny，用最小二乘法估计参数1ˆ(,)()TTTnaaBBBy。第三步：建立未来教育经费总额预测模型，解一阶线性微分方程(1)(1)()()drtartdt，得时间响应函数为(1)(0)ˆ(1)((1))akrkreaa①(0)(1)(0)(1)(1)ˆˆ(1)(1)ˆˆˆ()()(1),2,3,,7rrrkrkrkk②①式即总教育经费的预测函数。4.1.2.2指数拟合估计在校学生总人数及学费在教育经费中所占比重随着近几年扩招政策及时到位的实施，在校学生总数逐年增加，为了使更多的学生接受高等教育以及提高教育质量的需要，学费标准越来越高，在教育经费总额中的比例相应也越来越大。显然，在校学生人数和学费在教育经费中所占比重是随时间变化的量，不可能停留在某个特定的值。根据1999-2005年的在校学生人数数据（如表4-2），我们发现在校学生总人数是关于时间t的一个增函数，于是我们想到用曲线拟合得到在校学生总人数关于时间t的函数关系，以此来预测未来几年的在校学生总人数。表4-21999-2005年在校学生总数()Nt其中表4-2中时间t单位为年，在校学生总数()Nt单位为万人且经过四舍五入。利用EXCEL，以指数拟合得到函数图像：t1999200020012002200320042005()Nt413.4556.09719.07903.361108.61333.51561.77676y=371.77e0.2057x0.0500.01000.01500.02000.02500.00123456789（七数八点拟合函数误差？）（图4-1）并得到各年在校学生总人数的表达式为：0.2057(1998)()371.77tNte③针对学费在教育经费中所占比重的变化，我们初步得到的数据（如表4-3）是1999-2005年的总教育经费和学费总额信息，根据公式()()()stqtrt，将原来的数据转化为各年学费在教育经费中所占比重的数据（如表4-4）。表4-31999-2005年总教育经费()rt和学费()stt1999200020012002200320042005()rt7646.49831.412475.515832.118736.822576.526578.6()st1378.82166.93124.34264.55487.56938.78379.1其中总教育经费()rt和学费()st单位为万元且经过四舍五入。表4-41999-2005年学费在总教育经费中所占比重()qtt1999200020012002200320042005()qt0.1700.2110.2420.2660.2880.3040.310其中比重()qt经过四舍五入。根据表4-4中数据，利用EXCEL，以对数拟合得到函数图像：7y=0.0748Ln(x)+0.16440.10.150.20.250.30.3502468得到各年学费在总教育经费中所占比重的表达式为：()0.0748ln(1998)0.1644qtt④并以此表达式来估计未来几年的学费在总教育经费中所占比总。4.1.2.3宏观期望生均学费确定各年总教育经费的表达式为：(1)(0)ˆ(1)((1))akrkreaa；各年学费在总教育经费中所占比重的表达式为：()0.0748ln(1998)0.1644qtt各年在校学生总人数的表达式为：0.2057(1998)()371.77tNte所谓的宏观期望生均学费就是不考虑影响学费的因素的情况下，从整体的角度出发得到总学费分配到每个在校学生的额数，而不用关心由于地区的差异、专业的不同等而引起的学费的不同。于是我们可以得到各年宏观期望生均学费的表达式：1()()()()rtqtPtNt⑤4.1.3模型一求解4.1.3.1(1,1)GM模型数据处理思想GM(1,1)模型估计未来几年总教育经费，是根据过去几年高校总教育经费来估计当前年份总教育经费支出。由于总经费的数据很大，直接代入(1,1)GM模型的实现过程编程进行求解会产生大数吃小数现象，如(1,1)GM模型求解的过程中涉及到的数据矩阵B，该矩阵的第一列元素是关于总教育经费的线性关系式，而第二列的元素全为1，两类元素的数量级相差710，那么在后面求1B对我们采用8计算机求解很不利。于是，我们将已有数据列同时缩小910倍，然后再用matlab程序求解即可。4.1.3.2总教育经费估计根据公式①和②给出的相应的k值可估计未来短期的总教育经费，因为总教育经费随时间的变化是很大的，且时间久了，同等数额货币的价值含量也不一样，所以预测中长期的