初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第1讲-走进追问求根公式

1第一讲走进追问求根公式形如02cbxax（0a）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式aacbbx2422,1内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。【例题求解】【例1】满足1)1(22nnn的整数n有个。思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。【例2】设1x、2x是二次方程032xx的两个根，那么1942231xx的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出1x、2x的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213xx，2223xx。【例3】解关于x的方程02)1(2aaxxa。思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01a及01a两种情况讨论。【例4】设方程04122xx，求满足该方程的所有根之和。思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。【例5】已知实数a、b、c、d互不相等，且xaddccbba1111，试求x的值。思路点拨：运用连等式，通过迭代把b、c、d用a的代数式表示，由解方程求得x的值。注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程02cbxax（0a）直接作零值多项式代换；(2)把方程02cbxax（0a）变形为cbxax2，代换后降次；(3)把方程02cbxax（0a）变形为cbxax2或bxcax2，代换后使之转化关系或整体地消去x。解合字母系数方程02cbxax时，在未指明方程类型时，应分0a及0a两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222xxx。2走进追问求根公式学历训练1、已知a、b是实数，且0262ba，那么关于x的方程1)2(22axbxa的根为。2、已知0232xx，那么代数式11)1(23xxx的值是。3、若142yxyx，282xxyy，则yx的值为。4、若两个方程02baxx和02abxx只有一个公共根，则()A、baB、0baC、1baD、1ba5、当分式4312xx有意义时，x的取值范围是()A、1xB、4xC、41xD、1x且4x6、方程011)1(xxxx的实根的个数是()A、0B、1C、2D、37、解下列关于x的方程：(1)03)12()1(2mxmxm；(2)012xx；(3)xxx26542。8、已知0222xx，求代数式)1)(3()3)(3()1(2xxxxx的值。9、是否存在某个实数m，使得方程022mxx和022mxx有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由。注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口。10、若0152xx，则1539222xxx＝。11、已知m、n是有理数，方程02nmxx有一个根是25，则nm的值为。12、已知a是方程020002xx的一个正根。则代数式a200012000120003的值为。313、对于方程mxx222，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()A、1B、2C、3D、2．514、自然数n满足16162472)22()22(2nnnnnn，这样的n的个数是()A、2B、1C、3D、415、已知a、b都是负实数，且0111baba，那么ab的值是()A、215B、251C、251D、25116、已知3819x，求1582318262234xxxxxx的值。17、已知m、n是一元二次方程0720012xx的两个根，求)82002)(62000(22nmmm的值。18、在一个面积为l的正方形中构造一个如下的小正方形：将正方形的各边n等分，然后将每个顶点和它相对顶点最近的分点连结起来，如图所示，若小正方形面积为32811，求n的值。19、已知方程0132xx的两根、也是方程024qpxx的根，求p、q的值。20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC=nS矩形PQRS，其中n为不小于3的自然数．求证：ABBS需为无理数。4参考答案5