初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第2讲-判别式

1第二讲判别式——二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。【例题求解】【例1】已知关于x的一元二次方程0112)21(2xkxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是。(广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于k的不等式组，注意k21、1k的隐含制约。注：运用判别式解题，需要注意的是：(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。【例2】已知三个关于y的方程：02ayy，012)1(2yya和012)2(2yya，若其中至少有两个方程有实根，则实数a的取值范围是()（山东省竞赛题）A、2aB、41a或21xC、1aD、141a思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a的不等式组，综合判断选择。【例3】已知关于x的方程02)2(2kxkx，(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC的一边长a＝1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。(湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分cb或b、c中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b、c的值。注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。【例4】设方程42axx，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根。(重庆市竞赛题)思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。2【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问：这样的点E是否存在?若存在，这样的点E有几个?请说明理由。(云南省中考题)思路点拨：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：(1)利用根的定义构造；(2)利用根与系数关系构造；(3)确定主元构造。3判别式——二次方程根的检测器学力训练1、已知014ba，若方程02baxkx有两个相等的实数根，则k=。2、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。(辽宁省中考题)3、已知关于x方程0422kxkx有两个不相等的实数解，化简4422kkk=。4、若关于x的一元二次方程01)12()2(22xmxm有两个不相等的实数根，则m的取值范围是()A、43mB、43mC、43m且2mD、43m且2m(山西省中考题)5、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B＝90°，那么关于x的方程0)1(2)1(22xbcxxa的根的情况为()A、有两个相等的实数根B、没有实数根C、有两个不相等的实数根D、无法确定(河南省中考题)6、如果关于x的方程0)1(2)2(2mxmxm只有一个实数根，那么方程0)4()2(2mxmmx的根的情况是()A、没有实数根B、有两个不相等的实数根C、有两个相等的实数根D、只有一个实数根(2003年河南省中考题)7、在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知3a，b和c是关于x的方程02122mmxx的两个实数根，求△ABC的周长。(济南市中考题)8、已知关于x的方程063)2(22mxmx(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；(2)如果方程的两实根分别为1x、2x，满足1x=32x，求实数m的值。(盐城市中考题)9、a、b为实数，关于x的方程22baxx有三个不等的实数根。(1)求证：0842ba；(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值。(江苏省苏州市中考题)410、关于的两个方程03242mmxx，0)12(22mxmx中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是。(2002年四川省竞赛题)11、当a=，b=时，方程0)2443()1(2222babaxax有实数根。(全国初中数学联赛试题)12、若方程axx52有且只有相异二实根，则a的取值范围是。13、如果关于x的方程05)2(22mxmmx没有实数根，那么关于x的方程0)2(2)5(2mxmxm的实根的个数()A、2B、1C、0D、不能确定14、已知一元二次方程02cbxx，且b、c可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有()A、12个B、10个C、7个D、5个(河南省中考题)15、已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程0)(22222bxbacax，则方程根的情况是()A、有两相等实根B、有两相异实根C、无实根D、不能确定(河北省竞赛题)16、若a、b、c、d0，证明：在方程02212cdxbax①；02212adxcbx②；02212abxdcx③；02212bcxadx④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根。(湖北省黄冈市竞赛题)17、已知三个实数a、b、c满足0cba，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于23。18、关于x的方程01)1(2xkkx有有理根，求整数是的值。(山东省竞赛题)19、考虑方程baxx22)10(①(1)若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式。(2)若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式?说明你的结论。(国家理科实验班招生试题)20、如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求ab的取值范围。5参考答案6