同济六版高数下册复习资料

高等数学（一）教案期末总复习-2-高等数学下册习题常见类型题型1求向量的坐标、模、方向角、方向余弦、数量积、向量积题型2由已知条件求平面与直线方程题型3计算一阶偏导数及高阶偏导数题型4求多元复合函数的偏导数题型5求方程所确定的隐函数的偏导数题型6求方向导数、梯度、曲线的切线、曲面的切平面题型7求极值、利用拉格郎日乘数法求最值题型8利用直角坐标计算二重积分题型9利用极坐标计算二重积分题型10计算带绝对值的二重积分题型11利用二重积分证明恒等式题型12利用对称性质计算二重积分题型13只有一种积分次序可计算的积分例1、求24212sinsinxxxyydxdydxdyyy解：（将二次积分交换顺序）12212242122211sinsinsinsinsinsin(1)sincos1sin1xxxDDyyDDyyyydxdydxdydxdydxdyyyyyyydxdydydxyydyyy题型14利用投影法计算三重积分题型15利用柱坐标计算三重积分题型16利用球坐标计算三重积分题型17利用切片法计算三重积分题型18利用三重积分计算立体的体积题型19计算对弧长的曲线积分题型20计算对面积的曲面积分题型21计算对坐标的曲线积分题型22利用格林公式计算对坐标的曲线积分题型23曲线积分与路径无关及全微分求积题型24计算对坐标的曲面积分题型25利用高斯公式计算对坐标的曲面积分题型26可分离变量的微分方程、齐次方程题型27一阶线性微分方程题型29可降阶方程题型30二阶常系数非齐次线性方程高等数学（一）教案期末总复习-3-第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向.记作a或ABa(,,)xyzxyzaiajakaaa,,xxyyzzaprjaaprjaaprja模向量a的模记作aa222xyzaaa和差cabcab－cab,,xxyyzzababab单位向量0a，则aaeaae222(,,)xyzxyzaaaaaa方向余弦设a与,,xyz轴的夹角分别为，，，则方向余弦分别为cos，cos，coscosyxzaaaaaa，cos，coscosae(，cos，cos)222cos1+coscos点乘（数量积）cosbaba，为向量a与b的夹角zzyyxxbabababa叉乘（向量积）bacsinbac为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直zyxzyxbbbaaakjiba定理与公式垂直0abab0xxyyzzabababab平行//0abab//yzxxyzaaaabbbb交角余弦两向量夹角余弦babacos222222cosxxyyzzxyzxyzabababaaabbb投影向量a在非零向量b上的投影cos()babprjaaabb222xxyyzzbxyzabababprjabbb平面直线法向量{,,}nABC点),,(0000zyxM方向向量{,,}Tmnp点),,(0000zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0DCzByAx一般式0022221111DzCyBxADzCyBxA点法式0)()()(000zzCyyBxxA点向式pzznyymxx000高等数学（一）教案期末总复习-4-三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz参数式ptzzntyymtxx000截距式1xyzabc两点式000101010xxyyzzxxyyzz面面垂直0212121CCBBAA线线垂直0212121ppnnmm面面平行212121CCBBAA线线平行212121ppnnmm线面垂直pCnBmA线面平行0CpBnAm点面距离),,(0000zyxM0DCzByAx面面距离10AxByCzD20AxByCzD222000CBADCzByAxd12222DDdABC面面夹角线线夹角线面夹角},,{1111CBAn},,{2222CBAn},,{1111pnms},,{2222pnms},,{pnms},,{CBAn222222212121212121||cosCBACBACCBBAA222222212121212121cospnmpnmppnnmm222222sinpnmCBACpBnAm空间曲线：()()()xtytzt，，，)(t切向量))(,)(,)((000tttT切“线”方程：)()()(000000tzztyytxx法平“面”方程：0))(()()()()(000000zztyytxxt()()yxzx切向量))(,)(,1(xxT切“线”方程：)()(100000xzzxyyxx法平“面”方程：0))(()()()(00000zzxyyxxx空间曲面：0),,(zyxF法向量000000000((,,),(,,),(,,))xyznFxyzFxyzFxyz切平“面”方程：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0xxxFxyzxxFxyzyyFxyzzz法“线“方程：),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(yxfz0000((,),(,),1)xynfxyfxy或0000((,),(,),1)xynfxyfxy切平“面”方程：0)())(,())(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法“线“方程：1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx高等数学（一）教案期末总复习-5-第十章重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分d,DyxfI平面薄片的质量质量=面密度面积（1）利用直角坐标系X—型Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Y—型dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(P141—例1、例3（2）利用极坐标系使用原则(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含22()xy,为实数)21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfdddfd0202P147—例5（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)DfxyxfxyfxyIfxydxdyfxyxfxyfxyDD对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141—例2应用该性质更方便计算步骤及注意事项1．画出积分区域2．选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3．确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4．确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5．计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性高等数学（一）教案期末总复习-6-三重积分dvzyxfI),,(空间立体物的质量质量=密度面积(1)利用直角坐标截面法投影法投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),,(ddd),,(P159—例1P160—例2（2）利用柱面坐标cossinxryrzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:○1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如旋转体○2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2222()()fxyfxz21()()(,,)ddd(cos,sin,)dbrarfxyzVzfzP161—例3（3）利用球面坐标cossincossinsinsincosxryrzrdvrdrdd2sin适用范围:○1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，222()fxyz222111(,)2(,)dd(sincos,sinsin,cos)sindIfP165—10-(1)（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高等数学（一）教案期末总复习-7-第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分LdsyxfI),(曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（转化为定积分）（1）:()LyxdtttttfI)(')('))(),((22（2）():()()xtLtytdxxyxyxfIba)('1))(,(2（3）()()rr()cos:()sinxrLyrdrrrrfI)(')()sin)(,cos)((22P189-例1P190－3平面第二类曲线积分LQdyPdxI变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）():()()xtLtyt单调地从到ttttQtttPyQxPLd)}()](),([)()](),([{ddP196-例1、例2、例3、例4（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）②P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydxyPxQQdyPdxDL)(应用：助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205－例4P214-5(1)(4)（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件：①yPxQ②0LQdyPdx③LQdyPdx与路径无关，与起点、终点有关④QdyPdx具有原函数),(yxu（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）P211-例5、例6、例7（4）两类曲线积分的联系LLdsQPQdyPdxI)coscos(空间第二类曲线积分LIPdxQdyRdz变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：①L封闭，分段光滑，有向②P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：P240-例1高等数学（一）教案期末总复习-8-dxdyypxQdzdxxRzPdydzzQyRRdzQdyPdxL)()()(应用：助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用第一类曲面积分dvzyxfI),,(曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法：),(yxzz投影到xoy面dxdyzzyxzyxfdvzyxfIxyDyx221)),(,,(),,(类似的还有投影到yoz面和zox面的公式P217-例1、例2第二类曲面积分IPdydzQdzdxRdxdy流体流向曲面一侧的