1998考研数三真题及解析

Borntowin11998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设曲线()nfxx在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)n,则lim()nnf.(2)2ln1xdxx.(3)差分方程121050ttyyt的通解为.(4)设矩阵,AB满足*28ABABAE,其中100020001A,E为单位矩阵,*A为A的伴随矩阵,则B.(5)设1234,,,XXXX是来自正态总体20,2N的简单随机样本,2122XaXX23434bXX.则当a,b时,统计量X服从2分布,其自由度为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设周期函数fx在,内可导,周期为4.又011lim1,2xffxx则曲线yfx在点5,5f处的切线的斜率为()(A)12(B)0(C)1(D)2(2)设函数21lim,1nnxfxx讨论函数fx的间断点,其结论为()(A)不存在间断点(B)存在间断点1x(C)存在间断点0x(D)存在间断点1x(3)齐次线性方程组21231231230,0,0xxxxxxxxx的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵0B使得0AB,则()(A)2且||0B(B)2且||0B(C)1且||0B(D)1且||0B(4)设3nn阶矩阵Borntowin21111aaaaaaAaaaaaa,若矩阵A的秩为1n,则a必为()(A)1(B)11n(C)1(D)11n(5)设1()Fx与2()Fx分别为随机变量1X与2X的分布函数.为使12()()FxaFxbFx是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取()(A)32,55ab(B)22,33ab(C)13,22ab(D)13,22ab三、(本题满分5分)设arctan22()yxzxye,求dz与2zxy.四、(本题满分5分)设22,Dxyxyx,求Dxdxdy.五、(本题满分6分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定0t)就售出,总收入为0()R元.如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为250.tRRe假定银行的年利率为r,并以连续复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求0.06r时的t值.六、(本题满分6分)设函数()fx在,ab上连续,在(,)ab内可导,且()0.fx试证存在,(,),ab使得().()bafeeefba七、(本题满分6分)设有两条抛物线21ynxn和21(1)1ynxn,记它们交点的横坐标的绝对值为Borntowin3.na(1)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积nS；(2)求级数1nnnSa的和.八、(本题满分7分)设函数()fx在[1,)上连续.若由曲线(),yfx直线1,(1)xxtt与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为2()()(1).3Vttftf试求()yfx所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件229xy的解.九、(本题满分9分)设向量1212(,,,),(,,,)TTnnaaabbb都是非零向量,且满足条件0.T记n矩阵.TA求：(1)2A；(2)矩阵A的特征值和特征向量.十、(本题满分7分)设矩阵101020,101A矩阵2(),BkEA其中k为实数,E为单位矩阵.求对角矩阵,使B与相似,并求k为何值时,B为正定矩阵.十一、(本题满分10分)一商店经销某种商品,每周进货的数量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量,且都服从区间[10,20]上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.十二、(本题满分9分)设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.Borntowin41998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】1e【解析】曲线nyx在点(1,1)处的切线斜率1xy1nxx11nxnxn,根据点斜式,切线方程为：1(1).ynx令0y,代入1(1)ynx,则11xn,即在x轴上的截距为11nn,lim()nnflimnnn1lim(1)nnn11lim(1)xxx1e.(2)【答案】lnxCx【解析】由分部积分公式,2ln1xdxx1ln1xdxx1ln1xdxln11(ln1)xdxxx分部2ln11xdxxxln11xdxxxln11xCxxlnxCx.【相关知识点】分部积分公式：假定()uux与()vvx均具有连续的导函数,则,uvdxuvuvdx或者.udvuvvdu(3)【答案】51(5)()126ttyCt【解析】首先把差分方程改写成标准形式1552ttyyt,其齐次方程对应的特征方程及特征根分别为50,5,rr故齐次方程的通解为(5),ttYCC为常数.将方程右边的52t改写成512tt,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为,tyAtBBorntowin5从而1(1),tyAtB代入原方程,得5(1)5(),2AtBAtBt56,60,2AAB故55,1272AB.于是通解为51(5)().126ttttyYyCt(4)【答案】200040002【解析】由题设*28ABABAE,由于20A,所以A可逆.上式两边左乘A,右乘1A,得*11128AABAAABAAAA28ABABE(利用公式：*1,AAAEAAE)28ABABE(移项)28AEABE(矩阵乘法的运算法则)将2A代入上式,整理得14EABE.由矩阵可逆的定义,知EA,B均可逆,且114BEA11002002401040100021002200040002.(5)【答案】11,,220100【解析】由于1234,,,XXXX相互独立,均服从2(0,2)N,所以由数学期望和方差的性质,得2221212(2)0,(2)122220EXXDXX,Borntowin6所以12(2)(0,20)XXN,同理34(34)(0,100)XXN.又因为12(2)XX与34(34)XX相互独立,且121(2)(0,1)20XXN；341(34)(0,1)100XXN,由2分布的定义,当11,20100ab时,222123411(2)(34)(2)20100XXXXX.即当11,20100ab时,X服从2分布,其自由度为2.严格地说,当10,100ab时,2(1)X；当1,020ab时,2(1)X也是正确的.【相关知识点】1、对于随机变量X与Y均服从正态分布,则X与Y的线性组合亦服从正态分布.若X与Y相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()EaXbYcaEXbEYc,22()()()DaXbYcaDXbDY,其中,,abc为常数.2、定理：若2(,)XN,则(0,1)XN.3、2分布的定义：若1,,nZZ相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N,则221~()niiZn.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义：0()()limxfxxfxfxx0(1)(1)lim2xffxx01(1)(1)lim2xfxfx1(1)2f1所以0(1)(1)(1)lim2.xfxffx因为()fx周期为4,()fx的周期亦是4,即()(4)fxfx,Borntowin7所以(5)f(14)f(1)2f.所以曲线()yfx在点5,(5)f处的切线的斜率为(5)f(1)2f.选(D).(2)【答案】(B)【分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该()fx的(分段)表达式,然后再讨论()fx的性质.不能隔着极限号去讨论.【解析】现求()fx的(分段)表达式：当1x时,21()lim1nnxfxx2122lim1nnnnxxx2122lim01lim1nnnnnxxx0；当1x时,21()lim1nnxfxx211lim11nn221；当1x时,21()lim1nnxfxx211lim11nn020；当1x时,21()lim1nnxfxx2lim1lim1nnnxx2011nxx1x.由此,0,1,0,1,()1,1,1,1,0,1.xxfxxxxx当当当当当即0,11,()1,1,1,1.xxfxxxx当或当当再讨论函数()fx的性质：在1x处,1limxfx1lim1xx110,1lim10xfxf,所以,11limlim0xxfxfx,函数()fx在1x处连续,不是间断点.在1x处,1limxfx1lim0x0；1limxfx1lim1xx2；所以1limxfx1limxfx,函数()fx在1x处不连续,是第一类间断点.故选(B).Borntowin8(3)【答案】(C)【解析】方法1:由0AB知()()3rArB,又0,0AB,于是1()3,rA1()3rB,故0,0AB,即2210101011011(1)0111111A,得1.应选(C).方法2:由0AB知()()3rArB,又0,0AB,于是1()3,rA1()3rB,故0B.显然,1时111111111A,有1()3,rA故应选(C).作为选择题,只需在2与1中选择一个,因而可以用特殊值代入法.评注：对于条件0AB应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组0Ax的解；二是秩的信息,即()()rArBn,要有这两种思考问题的意识.(4)【答案】(B)【解析】1111100(1)1101011001aaaaaaaaaaaAaaaaaaa