积分变换

一、Fourier级数二、Fourier积分定理三、小结第3页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页一、Fourier级数傅里叶(1768—1830)法国数学家对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.法国数学家FourierJ．B．J．Fourier第4页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1804年，法国数学家Fourier提出：在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和.1822年，Fourier在研究热传导理论时发表了《热的解析理论》，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理.一、Fourier级数第5页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页一、Fourier级数1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的定理，奠定了Fourier级数的理论基础.狄利克雷（1805－1859）德国数学家P.G.L.Dirichlet第6页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页一个以T为周期的函数fT(t),如果在上满足Dirichlet条件,即在区间上满足:,22TT,22TT,22TT1.Fourier级数展开1)连续或只有有限个第一类间断点;2)只有有限个极值点.则在区间可以展开成Fourier级数.第7页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页在fT(t)的连续点处,级数的三角形式如下:π其中，2T01()(cossin)2Tnnnaftantbnt2.Fourier级数的三角形式22()sind1,2,3,TTnTbftnttn（)22()cosd1,2,3,TTnTaftnttn（)2202()dTTTafttT第8页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页01(0)(0)cossin22TTnnnaftftantbntt在间断点处成立：01(0)(0)cossin22()TTnnnTftftaantbntft即2.Fourier级数的三角形式第9页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1)级数复指数表示形式:在其连续点处，利用Euler公式：jjjjcos,sinj22eeee01()(cossin)2Tnnnaftantbntjjjj01j222ntntntntnnnaabeeee2.Fourier级数的三角形式第10页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页eejj01jj222ntntnnnnnaabab如果令，22001()d2TTTacfttT1)级数复指数表示形式系数的确定第11页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页jjjeje22221()d(1,2,3,)21()d(1,2,3,)2TTTTntnnnTntnnnTabcfttnTabcfttnT221()d(1,2,3,)TTntnTcfttnTje1)级数复指数表示形式第12页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页若令(n=0,1,2,…),01()nnntttTnnnnnftccccjjjeee级数的复指数表示2211()()dTnnTttTTnftfTTjjee1)级数复指数表示形式nn第13页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页001(0)(0)2TTftft在其间断点处，0tjjee2211()dTnnTttTnfTT1)级数复指数表示形式ntnncje第14页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1)级数复指数表示形式2211()dTnnTttTnfTTjjee即001(0)(0)2()TTTftftft第15页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页2)级数正弦和余弦表示形式01()cos()2TnnnaftCnt1()sin()TnnnftCnt级数正弦表示形式:级数余弦表示形式22,arctannnnnnnaCabb第16页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在之内等于f(t),而在之外按周期T延拓到整个数轴上,显然,T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T+时周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有lim()()TTftft二、Fourier积分定理1)Fourier积分公式,22TT,22TT第18页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页ee，22jj1()()dTnnTtTTnftfTee22jj1()lim()dTnnTtTTnftfT令，由1)Fourier积分公式第19页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页当取一切整数时所对应的点便均匀分布在整个数轴上两个相邻的点的距离为,,nnππ或12,nnnnTT1.Fourier积分公式第20页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页22jj01()lim()d2TnnTntTnnftfeeπ0nT则当，时，22jj1()lim()dTnnTtTTnftfTee1.Fourier积分公式第21页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页22jj1()d2TnnTtTnfee是参数为的函数，π当固定时，t22jj1()()d2TnnTtTnTΦfeeπ()TnΦ记作，即1.Fourier积分公式第22页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页22jj01()lim()d2TnnTntTnnftfeeπ0()lim()nTnnnftΦ()TnΦ利用，1.Fourier积分公式第23页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页0,,()()nTnnTΦΦ当即时jj1()()d2nntnΦf又eeπ()dnnftΦ则（）=，()dftΦ即（）=，1.Fourier积分公式第24页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页Fourier积分公式1d2tftfjj（）=（）edeπ得1).Fourier积分公式第25页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页若f(t)在(-,+)上满足下列条件:1)f(t)在任一有限区间上满足Dirichlet条件;2)f(t)在无限区间(-,+)上绝对可积.则有（在绝对可积即收敛）(,)|()|dftt2.Fourier积分定理一个非周期函数在什么条件下,可以用Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.定理:第26页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页jj1()()dd2tftfeeπFourier积分公式的复数形式成立.2.Fourier积分定理第27页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页如果左端的在它的间断点处应以来代替(),(0)(0).2fttftftjj(0)(0)1()dd22tftftfeeπ即2.Fourier积分定理第28页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页3.Fourier积分公式的三角形式利用Euler公式，有jjj()1()()dd21()dd2ttftffeeπeπ1()cos()d2()sin()ftftπjdd第29页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1()()cos()dd2ftftπ()sin(),ft又d是的奇函数故得01()()cos()ddftftπ()cos(),ft又d是的偶函数故又得Fourier积分公式的三角形式3.Fourier积分公式的三角形式第30页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页当为奇函数时,利用三角函数的和差公式,有fx01()()cos()ddftftπ01()()coscosftftπ3.Fourier积分公式的三角形式sinsinddt第31页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页由于为奇函数,则和分别是关于的奇函数和偶函数,因此()cosf()sinffxFourier正弦积分公式002()()sinsindftftdπ当为偶函数时,同理可得fx002()()cosdcosdftftπFourier余弦积分公式4.Fourier正弦和余弦积分公式第32页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页特别地,如果仅在上有定义,且满足Fourier积分公式存在定理的条件,我们可以采用类似于Fourier级数中奇延拓或者偶延拓的方法,得到相应的Fourier正弦积分展开式或Fourier余弦积分展开式.()ft，(0)()ft注意:第33页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页jj1()()dd2tftfeeπ1j11cossindd2tttjeπ11()0tft，求函数的Fourier积分表达式.，其他根据Fourier积分公式的复数形式，有第34页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页1j01cosddtteπ1sincossindttjπ02sincosd1tπ第35页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页(10)(10)122ffft（）为偶函数，根据Fourier余弦积分公式，012sincosd112fttt（），π，当时，1t有ft（）应以代替.第36页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页012sincosd1401tttπ，π，，即第37页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页0t当时，有Dirichlet积分ft由上可以看出，利用的Fourier积分表达式，可以推证一些广义积分.0sind2π第38页积分变换主页上一页下一页退出积分变换第‹#›页本节学习了接下来学习本节从周期函数的F