赫兹接触基础

轴承内部的弹性接触理论1物体的相互接触2假设3接触面的尺寸和接触应力4弹性趋近量物体的相互接触滚动轴承依靠滚道和滚动体的相互接触来支承载荷，所以了解接触应力分布和接触变形是轴承受力和运动解析的基础。左图给出球与平面这一最简单接触形态。如果载荷为零,形成点接触，接触区为几何的点。如果接触载荷不为零,由于几何点没有面积其应力和应变将成为无穷大。但能承受无穷大应力的材料是不存在，因此,接触区由点变成面,接触区将产生一定的变形。但仍称为点接触。(a)(b)钢球与平面的接触点圆・基于钢球与滚道的形状，承载时将形成下图所示的椭圆形接触面。钢球与滚道之接触一般情况下，滚动轴承的接触在弹性极限内进行，其接触理论也将在弹性极限内展开。1985年赫兹（H.Hertz)确立的弹性接触理论一直沿用至今。假设Hertz接触理论作了如下假设。(1)材料是均质;(2)接触区的尺寸远远小于物体的尺寸;(3)作用力与接触面垂直（即接触区内不存在磨擦）;(4)变形在弹性极限范围内。对于滚动轴承内部的接触问题,这些假设基本上是成立的假设下图给出如何使用赫接触理论计算接触面的尺寸和应力。帕姆格林(A.Palmgren)曾对球轴承的赫兹接触问题进行了简化,也作简单介绍。赫兹计算赫兹计算不仅繁琐,而且难于理解.这里仅介绍其结果。球与滚道接触区是椭圆，如下图所示。长半轴为a，短半轴为b可通过以下计算求得。椭圆的长半轴和短半轴abxy接触面的尺寸和接触应力如下图,假设物体1和物体2相互接触,图中的四个主平面1－Ⅰ，1－Ⅱ与2－Ⅰ，2－Ⅱ分别为物体1、物体2的主曲率之平面。几何关系r1Ⅱr2Ⅱ1-Ⅱ2-Ⅰ1-Ⅰr1Ⅰr2ⅠQ2-Ⅱ物体2物体1ωωQQ物体２物体１平面Ⅰr1Ⅱr2Ⅱ平面Ⅱr1Ⅰr2ⅠQ(a)一般接触(b)ω=0之接触接触物体的主曲率平面各平面与物体相交所形成的曲线可用二次函数表达。对其接触问题进行计算时，需要计算辅助变量cosτ：(1)式中（2）ρ是接触物体的主曲率，分别是半径的倒数，凸面取正号，凹面取负号。下标1、2分别表示两接触物体，Ⅰ、Ⅱ分别表示主曲率所在的平面，式(1)中ω表示物体1的主平面Ⅰ与物体2的主平面Ⅰ的夹角｡2222211211)(2cos))((2)(cosⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠⅡⅠ2211Ⅰ1rⅠ2rⅡ1rⅡ2r一般滚动轴承的接触如前图(b)，故式(1)可减化为（3）钢球与滚道接触时，以内圈为例（见下图),各自的主曲率（1/mm)可以表示如下。钢球：（1/mm）内圈：（1/mm)cosτ由接触区的形状和尺寸而定，其值确定后，根据赫兹接触理论，接触椭圆的长半轴a（mm)和短半轴b（mm)可通过下式求得：ⅡⅠⅡⅠ2211coswwDD2)2/(111ⅡⅠir12Ⅰ)2/(12FⅡ钢球与滚道之接触（4）式中，为载荷（N)。另外，（5）式中，E1、E2分别是材料的弹性模量（MPa），1/m1、1/m2为泊松比。υ、μ是两物体的接触区尺寸系数，由cosτ决定，通过图表查出。由椭圆方程可得：（6）321)(83Qa321)(83QbQ1211)/11(4Em2222)/11(4Em12222byax接触面积载荷除以接触面积可得到平均接触应力（Mpa),即（7）最大接触应力：（8）接触区内应力分布如下图中实线所示的半椭球体。任意位置（x,y)的应力z由下式求得（9）abQpm32213/1max)(3823235.1QabQppmzzyyxxapmax=cpmb图赫兹接触应力分布2222123byaxabQz接触应力两个物体从形成点接触到承载后形成接触面，其趋近量由下式给出｡（10）k:第一类完全椭圆积分，其积分值由决定。:接触载荷（N）将式(10)改写为，并将式(4)中的a代入式(10)，经整理后得aQ8321Em)/11(42Q0/4E弹性趋近量(11)的值，常常以cosτ为变量，示于图表302010201)/1()/1()/)(2/3(8)}/1()/1{(12EEQEEQ320201321112125.1EEQ/2在计算弹性趋近量的式（11）中，每次计算都需要代入1/E0，显得繁琐。为此，Palmgren以钢对钢为接触对象，对计算式作了简化。首先，式（11）可改写为（12）材料为钢时323202011123221QEE422320201105819.5)023626.0(1123EEE计算简化于是，式(12)可表达为：因此（13）323202014411232105819.5107910.2QEE32323/24-02014)10(5.5819)(1/E)(1/E(3/2)2107910.2Q323202015411101374.12107910.2QEE这个关系式还可以整理为（14）式中钢对钢接触时，只要知道了ｅδ就不难计算出δ了。作为F(ρ)(cosτ)的函数，列于表中。钢对钢接触时，上述关系可进一步简化为（15）322QeE2107910.24e320201521110137.1EEE12E32Qe赫兹接触椭圆爬越挡肩的条件接触椭圆是否爬越档边的条件由轴承的接触角、赫兹接触椭圆的尺寸以及沟道的深度决定例：最大轴向载荷轴向载荷—外圈的计算以单个钢球为对象讨论为了使接触椭圆不越过滚道边缘，爬上档边，必须满足：由图几何关系可得到：)cos1(1eeerrRweeeDfrR111cosweeDfr与球径相比，接触面的弹性变形量非常小。如果将接触面的沟道曲率半径看成与钢球曲率半径相同，同时，为使问题简化，则关于，可得1wwDaDa2)2/(sinwDa2)sin(即（1）（2）（3）接触椭圆长半轴a根据式(12)可得（设）：1E3Qeaa33aeaQ（4）将式（1）（4）相结合，接触椭圆不爬越档边的载荷为：33)sin()2/(aweDQ（5）以整个轴承为对象讨论当轴承承受纯轴向载荷Fa时，轴承内一颗钢球所承受的载荷为钢球所受平均载荷Fa/Z(Z为钢球数）沿承载接触角方向上的分力，'sinZFQasinQZFa（6）3/22sin121coscoswamZDFfc5.15.121coscossin12cfZDFmwa（7）由式（5）（6）（7）得出：2/13/11coscos12)(2)sin(cfDemwa将经过迭代计算的带入下式便可求得极限轴向载荷FaL：sin1coscos1225.1wmaLZDcfF（8）通过赫兹接触理论，可以得到接触面的尺寸和应力，但每次计算都需要代入材料的弹性模量和泊松比，滚动轴承材料一般为钢，Palmgren给出了其简化计算公式。式(4)给出了接触椭圆的尺寸，以其长半轴a的表达式为例(10)3302011123QEEaEmE20/1141赫兹接触计算简化（Palmgren）上式中的值仅由材料的特性决定，假设两接触物体均为钢，则E=207GPa,1/m=0.3,以mm为长度单位，并使用等式1Pa=10－6N/mm2,将这些数据代入（10）可得：（mm2/N）因此可得到：式（10）可改写为：302011123EE630103961.41020709.011E023626.0112330201EE3302011123023626.0023626.0QEEa（20）（21）330201311023626.0123023626.0QEE330201511101374.1023626.0QEE3QeaEa02363.0ae3020151110137.1EEE上式中，使用钢的E和1/m，则εＥ=1。因此，(N)和式(2)确定后，通过式(21)可以求得接触椭圆的长半轴a。另外，值根据μ求得，其计算结果可查表。如将上述关系式作进一步的简化，钢与钢接触时，可得到同理，接触椭圆短半轴的计算式可表达为：（22）Qae3Qeaa3QebEb02363.0be3020151110137.1EEEｅｂ值列于表，考虑钢与钢的接触，式(22)可以进一步简化为：（23）F(ρ)（cosτ)越接近1,椭圆的偏心率越趋近0，当F(ρ)=1时，a=无穷大时即为线接触。赫兹接触理论不适用这种情况，需要借助其它理论。根据以上推导，最大赫兹接触应力Pmax(MPa):(24)平均接触应力Pm(MPa):(25)3Qebb322max15.15.1QeeabQpEba5.1maxpabQpm曲率和及曲率差的计算----球轴承Dr211Dr212)cos(21211DddrmiDfri2mdDcos)1214(1)1(214iiifDDDfD1214121)1()1(2)(iiiiiffDfDF曲率和及曲率差的计算----调心滚子轴承)]11(12[11)1(212iiirRDDrDRD)11(12)11(12)1()1(212)(iiiiirRDrRDrDRDF)]11(12[11)1(212000rRDDrDRD)11(12)11(12)1()1(212)(00000rRDrRDrDRDF曲率和及曲率差的计算----圆柱滚子轴承]12[1Di]12[10D1)()(0FFi曲率和及曲率差的计算----圆锥滚子轴承]12[1imiD]12[100mD)(21minmaxDDDmmimidDcosmmdD00cos1)()(0FFi