大学物理(下)典型题

（一）电磁学共23题（二）相对论共3题（三）量子物理共6题共23题1均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细圆环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心O的距离为x，求P点的场强。dqrOxRxPEd//dEEd解：(3)(4)积分求解:由于对称性(1)204ddrqE(2)将分解为Edcosdd//EEsinddEE0dEEcos4dd20////rqEEE在圆环上任意取一线元dl，其带电量为dqdqrOPxRxEd//EdEdcos4dd20////rqEEE在积分过程中，r和保持不变，可以提到积分号外，即cos20204cosd4cosrqqrE22,cosxRrrx2/3220)(4xRqxEdqrOPxRxEd//EdEd2/3220)(4xRqxE讨论(1)环心处，x=0，E=0；即远离环心处的电场相当于一个点电荷产生的电场。(3)当xR时，204xqE思考如果把圆环去掉一半，P点的场强是否等于原来的一半？(2)当q0时，沿轴线指向远离轴线的方向，当q0时，沿轴线指向环心；EE2求均匀带电无限长圆柱体(λ,R)的电场分布。ORErOR解：在柱体内(rR),选长为l的同轴柱形高斯面，利用高斯定律02222001002dRlrlRlrlqrlESES内在柱体外(rR)，取同样高斯面，00002lqrlESdES内RrrrRrRrE,ˆ2,2020所以得电场分布的矢量表达lrOabR1R2rbra3：均匀带电球层，内半径为R1，外半径为R2，体电荷密度为。求图中a点和b点电势。解：取薄球壳，半径为r，厚为dr，可视为均匀带电球面，其带电量为rrqd4d2rdr对a点，此带电球面产生的电势为rrrrrrqd4d44dd0020)(2dd21220021RRrrRRa对b点，当球壳半径rrb时，其产生的电势为rOabR1R2rbrardrrrrrrrrqbbbd4d44dd20020)(331202011bbrRbbrRrdrrrdb当球壳半径rrb时，其产生的电势为rrrrrrqd4d44dd0020)(2dd2220022bRrbrRrrb)23(631222021bbbbbrRrR4：有一块大金属平板，面积为S，带有总电量Q，今在其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不带电。(1)求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围空间的电场分布。(2)如果把第二块金属板接地，最后情况又如何？（忽略金属板的边缘效应。）σ1σ2σ3σ4解：（1）由于静电平衡时导体内部无净电荷，所以电荷只能分布在两金属板的表面上。设四个表面上的面电荷密度分别为σ1、σ2、σ3和σ4。QS由电荷守恒定律可知：闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。选一个两底分别在两个金属板内而侧面垂直于板面的封金属板内任一点P的场强是4个带电平面的电场的叠加，并且为零，所以σ1σ2σ3σ4QSPSQ21043(1)(2)032(3)0222204030201(4)即：04321联立求解可得：SQSQSQSQ22224321,,,电场的分布为：在Ⅰ区，在Ⅱ区，在Ⅲ区，方向向左方向向右方向向右SQ02ⅠEⅡESQ02ⅢESQ02IⅡIIIEⅠEⅡEⅢσ1σ2σ3σ4QSSQSQEE2222002112340E由有（2）如果把第二块金属板接地，其右表面上的电荷就会分散到地球表面上，所以04第一块金属板上的电荷守恒仍给出SQ21由高斯定律仍可得032金属板内P点的场强为零，所以0321联立求解可得：0,,,04321SQSQEⅡIⅡIIIσ1σ2σ3σ4SP电场的分布为：ⅠE=0，ⅡESQ0方向向右EIII=0O直线+λd导体板5如图，求O点处感应电荷密度σ。xO/解：取导体板内很邻近O点的O/点，直线在O/点产生的电场dxxEd020144d感应电荷在O/点产生的电场022E，由总电场021OEEEd2得rLQEr02解：两极面间的电场在电场中取体积元rrLVd)2(d则在dV中的电场能量为：VEWrd2d206一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1和R2，两极面间充满相对介电常数为的电介质。求此电容器带有电量Q时所储存的电能。rL+Q–QεrR1R221d221d02RRrrrLQWW1202ln221RRLQrCQ221)/ln(2120RRLCrS解:根据电荷分布对壁的平分面的面对称性，可知电场分布也具有这种对称性。由此可选平分面与壁的平分面重合的立方盒子为高斯面，如图所示，高斯定理给出：0int/2qSE2/Dd7一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为ρ，求其电场分布，并画出E-d曲线，d为垂直于壁面的坐标，原点在厚壁的中心。D2/Dd,2intdSq0dE,intDSq02DEdE-d曲线如图EdO02D02D2/D2/D8两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径为R2，中间充满相对介电常数为r的均匀介质，构成一个球形电容器。(1)求该电容器的电容；(2)设内外球壳上分别带有电荷+Q和-Q，求电容器储存的能量。解:(1)已知内球壳上带正电荷Q，则两球壳中间的场强大小为：)4/(20rQEr两球壳间电势差21d12RRrEU)11(4210RRQ)4/()(21012RRRRQr电容)/(4/1221012RRRRUQCr(2)电场能量：21012228)(2RRRRQCQWrOR1R2r9两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm，R2=20.0cm，已知内球面的电势为，外球面的电势为。(1)求内外球面所带电量；(2)两个球面之间何处电势为零。V601V302解:(1)以q1和q2分别表示内外球所带电量，由电势叠加原理：6041221101RqRq联立可得可得C107.6101q(2)由：cm1020103.1107.6910221Rqqr304122102RqqC103.192q04122101RqrqOR1R210.在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强度为I，导线两端连线与磁感应强度方向夹角=30°，求此段圆弧电流受的磁力。BIlIdab解：在电流上任取电流元lIdbaBlIFdbaBlI)d(BIabsinBabIF30sin2BRIIBR方向11.如图所示，在均匀磁场中，半径为R的薄圆盘以角速度ω绕中心轴转动，圆盘电荷面密度为σ。求它的磁矩、所受的磁力矩以及磁矩的势能。解：取半径为r的环状面元，圆盘转动时，它相当于一个载流圆环，其电流：rrrrIdd22d磁矩：rrIrmddd32RrdrSωB受的力矩：圆盘磁矩：4dd403RrrmmR4sin4BRmBmBM方向向上mBM磁矩的势能为0mBmW12.一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴线上一无限长直导线的电流等值反向。电流I在半圆柱面上均匀分布。(1)求轴线上导线单位长度所受的力；(2)若将另一无限长直导线(通有大小、方向与半圆柱面相同的电流I)代替圆柱面，产生同样的作用力，该导线应放在何处？解：(1)在半圆柱面上沿母线取宽为dl的窄条，其电流IIRdddIlRII它在轴线上一点产生的磁感应强度:RIRIB2002d2dd方向如图dIdldxyBd0yBsinddBBBBxxRIBIF220由电流分布的对称性可知：02020dsin2RIRI方向沿x轴方向沿y轴，是斥力dIdldxyBd(2)另一无限长直导线应平行放置于y轴负半轴上，以d表示两直导线间的距离，则dIRI2202202/Rd13.将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为B1和B2，如图所示，求该载流平面单位面积所受磁场力的大小和方向。解:载流平面自身在其两侧产生的磁场为：1B2B0122jBB方向相反。均匀外磁场B0在平面两侧方向相同。j由图，12BB011022BBBBBB载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右侧方向相同。122100,2BBBBBj载流平面单位面积所受的磁场力2221002BBFjB考虑长dl，宽ds的电流元，dIjds其在外磁场中受的磁场力00dFdIdlBjdsdlB14.半径为R的圆片上均匀带电，面密度为，该圆片以匀角速度绕它的轴线旋转，求圆片中心O处的磁感应强度的大小。O解:取r处dr宽度的圆环，其以作圆周运动，相当于一圆电流dI，dI的大小为：0022dIdrdBr22/rdrdIrdr此圆电流在圆心处产生的磁场的磁感应强度为：整个圆板在圆心处产生的磁场的磁感应强度为：00024RdrRBxORxlIdrrRsinBdBdBd//Bd,ˆ420rrlIdBd,420rIdldB由对称性0Bsin//dBdBθθ解:lrIRdlB304RrIR24303202rIR232220)(2xRIRB方向:+x15：圆电流（I，R）轴线上的磁场。lIdBd//dBB方向：右手定则x=0圆心处RIB20xR3202xIRB16：求无限长均匀载流圆柱体(I,R)的磁场。I柱外：rRLLBdlldBrB2rIB20外柱内：rRLLBLLBdlldBI0内I0IRr220rB2IRrB202内rRBO解：17.长直导线中通有电流I=5A，另一矩形线圈共1103匝，宽a=10cm，长L=20cm，以v=2m/s的速度向右平动，求当d=10cm时线圈中的感应电动势。xIB20直导线产生的磁感强度为advIL解：dπINLvμLvNBε2011方向如图)ad(πNILvμε2021方向如图2addNILvi112021方向顺时针V1020.10.110.1125.010420.2101373ππ18.在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感强度为B的均匀磁场，有一长为L的金属棒放在磁场中,设磁场在增强，并且dB/dt已知，求金属棒中的感生电动势，并指出哪端电势高。t/LRLSt)BS(ttΦiddB42ddBdddd22解：由法拉第定律计算设想一回路，如OABO，则该回路的感应电动势大小为lABOB均匀dB/dt0，则回路中电动势方向为逆时针，B端高。由于OA和OB两段沿径向，涡旋电场垂直于段元，这两段不产