奥数第二讲-一元二次方程及其应用答案

漳州正兴学校九年级奥数辅导班练习1第二讲一元二次方程及其应用答案班级：姓名：日期：【巩固练习】1．已知、是关于x的一元二次方程22(23)0xmxm的两个不相等的实数根，且满足111，则m的值是（）。BA．3或－1B．3C．1D．－3或12．设a、b是方程x2+x-2011=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）。CA.2008B.2009C.2010D.20113．若函数，则当自变量取1、2、3、…、100这100个自然数时，函数值的和是（）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。解：当时，。∴当自变量取2、3、…、98时，函数值都为0。而当取1、99、100时，，故所求的和为：4．若2nm，则124222nmnm的值为．【答】7．解：71221)(212422222nmnmnm．5．方程112(1)(2)(2)(3)3xxxx的解是．【答】120,4xx．解：11(1)(2)(2)(3)xxxx11111223xxxx11213(1)(3)xxxx.∴22(1)(3)3xx，解得120,4xx.6．已知α、β是方程2210xx的两根，则3510的值为．【答】2．解：∵α是方程2210xx的根，∴212．∴322(12)22(12)52，又∵2,∴3510(52)5105()8=5(2)82．7．已知关于ｘ的方程（ａ－1）ｘ2＋2ｘ－ａ－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数ａ有____个．（1）当ａ＝1时，ｘ＝1．（2）当ａ≠1时，易知ｘ＝1是方程的一个整数根，再由1＋ｘ＝且ｘ是整数，知1－ａ＝±1，±2．1，0，2，3．1）、（2）得符合条件的整数ａ有5个．8．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根。（1）若r=0，x=21，原方程无整数根（2）当r≠0时，x1+x2=r2rx1x2=r1r消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7得(2x1-1)(2x2-1)=7由x1、x2是整数得：r=31，r=19．已知：a，b，c三数满足方程组482882ccabba，试求方程bx2+cx-a=0的根。解：由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2-28c+48=0的两根△=-4(c-24)2≥0，c=42a=b=4所以原方程为x2+2x-1=0x1=262，x2=262漳州正兴学校九年级奥数辅导班练习210．11．东莞迅达运输公司将一批货物从东莞清溪运输到广州，再从广州运输另一批货物到深圳。若从清溪按此路线运输货物到深圳的利润为11560元，其中从清溪到广州扣除其它开支后每车利润480元，从广州到深圳的计费是一辆车利润520元，当货车每增加1辆时，利润就减少20元。现有x辆货车参加运输货物。（1）请用x的代数式表示货车从广州到深圳的利润P；（2）求x的值。解：(1)[520(1)20](54020)Pxxxx(2)依题意：480(54020)11560xxx2515780xx1234,17xx当134x时，P=-2800,不合题意，舍去。答17x（辆）12．已知m，n为正整数，并且111111111111(1)(1)(1)(1)...(1)(1)(1)(1)(1)(1)...(1)(1)22332233ABmmnn，。证明：（1）12mAm（2分），12nBn。（2）126AB,求m和n的值。证明：（１）1111134111(1)(1)....(1)(1)...222232mmAmmmmm，同理,12Bn(2)126AB,1112226mnmn,113nmnm，因为,mn均为正整数，116913131691169)13)(13(nm，13)13(n，所以16913113nm，15612nm13．证明：存在无穷多对正整数,mn，满足方程2225107()mnmnmn．证法1：原方程可以写为22(107)2570mnmnn，于是221074(257)16849nnnn是完全平方数．=设21684949(121)nk，其中k是任意一个正整数，则2427nkk．于是210710(427)77(121)22nkkkm22107kk，或2210777kk．=所以，存在无穷多对正整数,mn222107,427kkkk（其中k是正整数）满足题设方程．证法2：原方程可写为257mnmn，所以可设27mnx（x是正整数），①取57mnx．②①－②得67(1)nxx．令6xy（y是任意正整数），则2427nyy．于是2227364272107myyyyy．所以，存在无穷多对正整数,mn222107,427yyyy（其中y是任意正整数）满足题设方程．