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高考数学压轴题30道1．椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点（）的准线与x轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设（），过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明.(14分)2．已知函数对任意实数x都有，且当时，。（1）时，求的表达式。（2）证明是偶函数。（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由。3．（本题满分12分）如图，已知点F（0，1），直线L：y=-2，及圆C：。（1）若动点M到点F的距离比它到直线L的距离小1，求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F的直线g交轨迹E于G（x1，y1）、H（x2，y2）两点，求证：x1x2为定值；（3）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐标及S的最小值。4.以椭圆＝1（a＞1）短轴一端点为直角顶点，作椭圆内接等腰直角三角形，试判断并推证能作出多少个符合条件的三角形.5已知，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c及一次函数g（x）＝－bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a＋b＋c＝0.（Ⅰ）求证：f（x）及g（x（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围.6已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？7已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。（1）求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。8．已知数列{an}满足（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.9．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围；（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．10.对任意都有（Ⅰ）求和的值．（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；（Ⅲ）令试比较与的大小．1（1）解：由题意，可设椭圆的方程为。由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得，依题意，得。设，则，①。②由直线PQ的方程得。于是。③∵，∴。④由①②③④得，从而。所以直线PQ的方程为或（3，理工类考生做）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故。而，所以。2①f(x)=(2k≦x≦2k+2,k∈Z)②略⑶方程在[1，4]上有4个实根3①x2=4y②x1x2=-4⑶P(±2,1)SMIN=4.解：因a＞1，不防设短轴一端点为B（0，1设BC∶y＝kx＋1（k＞0则AB∶y＝－x＋1把BC是（1＋a2k2）x2＋2a2kx＝0∴|BC|＝，同理|AB|＝由|AB|＝|BC|k3－a2k2＋ka2－1＝0（k－1）［k2＋（1－a2）k＋1］＝0∴k＝1或k2＋（1－a2）k＋1＝0当k2＋（1－a2）k＋1＝0时，Δ＝（a2－1）2－4由Δ＜0，得1＜a＜由Δ＝0，得a＝，此时，k＝1故，由Δ≤0，即1＜a由Δ＞0即a＞时有三解5解：依题意，知a、b≠0∵a＞b＞c且a＋b＋c＝0∴a＞0且c＜0（Ⅰ）令f（x）＝g（x得ax2＋2bx＋c＝0.（*Δ＝4（b2－ac）∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴Δ＞0∴f（x）、g（x）相交于相异两点（Ⅱ）设x1、x2为交点A、B则|A1B1|2＝|x1－x2|2，由方程（*|A1B1|2＝∵，而a＞0，∴∵，∴∴∴4［（）2＋＋1］∈（3，12∴|A1B1|∈（，2）6、解：（1）=依题意得k==3+2a=－3，∴a=－3，把B（1，b）代入得b=∴a=－3，b=－1（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3f（－1）=－3，f（4）=17∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987∴A≥2004。（1）已知g（x）=－∴∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，①当t＞3时，t－3x2＞0，∴g（x）在上为增函数，g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）②当0≤t≤3时,令=0,得x=列表如下:x（0,）＋0－g（x）↗极大值↘g（x）在x=处取最大值－＋t=1∴t==＜3∴x=＜1③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，∴g（x）在上为增函数，∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,,=（－2－x,－y）=（2－x,－y）∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=由题意得∣PH∣2=2··即即，所求点P的轨迹为椭圆（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为所以，双曲线C的实半轴长a=又∴双曲线C的方程式为8.（1）（2）9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0∵该直线与圆相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分故设双曲线C的方程为．又双曲线C的一个焦点为∴，．∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分（Ⅱ）由得．令直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．因此解得．又AB中点为，∴直线l的方程为．………………………………6分令x=0，得．∵，∴∴．………………………………………………8分（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①…………………………………………10分由于点N是线段的中点，设，．则，即．代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分10解：（Ⅰ）因为．所以．……2分令，得，即．……………4分（Ⅱ）又………………5分两式相加．所以，………………7分又．故数列是等差数列．………………9分（Ⅲ）………………10分………………12分所以……………………………………………………………………14分