定积分教案

高等数学教案第五章定积分1第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。3、牛顿—莱布尼茨公式。教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。4、变上限函数的导数。§51定积分概念与性质一、定积分问题举例1曲边梯形的面积曲边梯形设函数yf(x)在区间[ab]上非负、连续由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形其中曲线弧称为曲边求曲边梯形的面积的近似值将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值具体方法是在区间[ab]中任意插入若干个分点ax0x1x2xn1xnb把[ab]分成n个小区间[x0x1][x1x2][x2x3][xn1xn]它们的长度依次为x1x1x0x2x2x1xnxnxn1经过每一个分点作平行于y轴的直线段把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间[xi1xi]上任取一点i以[xi1xi]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i12n)把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值即Af(1)x1f(2)x2f(n)xnniiixf1)(求曲边梯形的面积的精确值显然分点越多、每个小曲边梯形越窄所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯高等数学教案第五章定积分2形面积A的精确值因此要求曲边梯形面积A的精确值只需无限地增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零记max{x1x2xn}于是上述增加分点使每个小曲边梯形的宽度趋于零相当于令0所以曲边梯形的面积为niiixfA10)(lim2变速直线运动的路程设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔[T1T2]上t的连续函数且v(t)0计算在这段时间内物体所经过的路程S求近似路程我们把时间间隔[T1T2]分成n个小的时间间隔ti在每个小的时间间隔ti内物体运动看成是均速的其速度近似为物体在时间间隔ti内某点i的速度v(i)物体在时间间隔ti内运动的距离近似为Siv(i)ti把物体在每一小的时间间隔ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T1T2]内所经过的路程S的近似值具体做法是在时间间隔[T1T2]内任意插入若干个分点T1t0t1t2tn1tnT2把[T1T2]分成n个小段[t0t1][t1t2][tn1tn]各小段时间的长依次为t1t1t0t2t2t1tntntn1相应地在各段时间内物体经过的路程依次为S1S2Sn在时间间隔[ti1ti]上任取一个时刻i(ti1iti)以i时刻的速度v(i)来代替[ti1ti]上各个时刻的速度得到部分路程Si的近似值即Siv(i)ti(i12n)于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值即niiitvS1)(求精确值记max{t1t2tn}当0时取上述和式的极限即得变速直线运动的路程niiitvS10)(lim设函数yf(x)在区间[ab]上非负、连续求直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积(1)用分点ax0x1x2xn1xnb把区间[ab]分成n个小区间[x0x1][x1x2][x2x3][xn1xn]记xixixi1(i12n)(2)任取i[xi1xi]以[xi1xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为高等数学教案第五章定积分3iixf)((i12n)所求曲边梯形面积A的近似值为niiixfA1)((3)记max{x1x2xn}所以曲边梯形面积的精确值为niiixfA10)(lim设物体作直线运动已知速度vv(t)是时间间隔[T1T2]上t的连续函数且v(t)0计算在这段时间内物体所经过的路程S(1)用分点T1t0t1t2tn1tnT2把时间间隔[T1T2]分成n个小时间段[t0t1][t1t2][tn1tn]记tititi1(i12n)(2)任取i[ti1ti]在时间段[ti1ti]内物体所经过的路程可近似为v(i)ti(i12n)所求路程S的近似值为niiitvS1)((3)记max{t1t2tn}所求路程的精确值为niiitvS10)(lim二、定积分定义抛开上述问题的具体意义抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括就抽象出下述定积分的定义定义设函数f(x)在[ab]上有界在[ab]中任意插入若干个分点ax0x1x2xn1xnb把区间[ab]分成n个小区间[x0x1][x1x2][xn1xn]各小段区间的长依次为x1x1x0x2x2x1xnxnxn1在每个小区间[xi1xi]上任取一个点i(xi1ixi)作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积高等数学教案第五章定积分4f(i)xi(i12n)并作出和niiixfS1)(记max{x1x2xn}如果不论对[ab]怎样分法也不论在小区间[xi1xi]上点i怎样取法只要当0时和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[ab]上的定积分记作badxxf)(即niiibaxfdxxf10)(lim)(其中f(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限[ab]叫做积分区间定义设函数f(x)在[ab]上有界用分点ax0x1x2xn1xnb把[ab]分成n个小区间[x0x1][x1x2][xn1xn]记xixixi1(i12n)任i[xi1xi](i12n)作和niiixfS1)(记max{x1x2xn}如果当0时上述和式的极限存在且极限值与区间[ab]的分法和i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间[ab]上的定积分记作badxxf)(即niiibaxfdxxf10)(lim)(根据定积分的定义曲边梯形的面积为badxxfA)(变速直线运动的路程为dttvSTT)(21说明(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关而与积分变量的记法无关即bababaduufdttfdxxf)()()((2)和niiixf1)(通常称为f(x)的积分和(3)如果函数f(x)在[ab]上的定积分存在我们就说f(x)在区间[ab]上可积函数f(x)在[ab]上满足什么条件时f(x)在[ab]上可积呢？定理1设f(x)在区间[ab]上连续则f(x)在[ab]上可积定理2设f(x)在区间[ab]上有界且只有有限个间断点则f(x)在[ab]上可积高等数学教案第五章定积分5定积分的几何意义在区间[ab]上当f(x)0时积分badxxf)(在几何上表示由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积当f(x)0时由曲线yf(x)、两条直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)]([)]([lim)(lim)(1010当f(x)既取得正值又取得负值时函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方而其它部分在x轴的下方如果我们对面积赋以正负号在x轴上方的图形面积赋以正号在x轴下方的图形面积赋以负号则在一般情形下定积分badxxf)(的几何意义为它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线xa、xb之间的各部分面积的代数和用定积分的定义计算定积分例1.利用定义计算定积分dxx210解把区间[01]分成n等份分点为和小区间长度为nixi(i12n1)nxi1(i12n)取nii(i12n)作积分和niiniiiniinnixxf121211)()()12)(1(61113123nnnninni)12)(11(61nn因为n1当0时n所以31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii利定积分的几何意义求积分:例2用定积分的几何意义求10)1(dxx解:函数y1x在区间[01]上的定积分是以y1x为曲边以区间[01]为底的曲边梯形的面积因为以y1x为曲边以区间[01]为底的曲边梯形是一直角三角形其底边长及高均为1所以211121)1(10dxx高等数学教案第五章定积分6三、定积分的性质两点规定(1)当ab时0)(badxxf(2)当ab时abbadxxfdxxf)()(性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([证明:badxxgxf)]()([niiiixgf10)]()([limniiiniiixgxf1010)(lim)(limbabadxxgdxxf)()(性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即babadxxfkdxxkf)()(这是因为niiibaxkfdxxkf10)(lim)(baniiidxxfkxfk)()(lim10性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即bccabadxxfdxxfdxxf)()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性值得注意的是不论abc的相对位置如何总有等式bccabadxxfdxxfdxxf)()()(成立例如当abc时由于cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(于是有cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)()(高等数学教案第五章定积分7性质4如果在区间[ab]上f(x)1则abdxdxbaba1性质5如果在区间[ab]上f(x)0则badxxf0)