陈家璧版光学信息技术原理及应用习题解答811章

习题8．1利用4f系统做阿贝—波特实验，设物函数t（x1，y1）为一无限大正交光栅)comb()rect()comb()rect(),(21212111111111byaybbxaxbyxt其中a1、a2分别为x、y方向上缝的宽度，b1、b2则是相应的缝间隔。频谱面上得到如图8-53（a）所示的频谱。分别用图8-53（b）（c）（d）所示的三种滤波器进行滤波，求输出面上的光强分布（图中阴影区表示不透明屏）。............................................................................................................................................（a）（b）（c）（d）图8.53（题8.1图）解答：根据傅里叶变换原理和性质，频谱函数为T(fx,fy)=ℱ[t(x1,y1)]={11bℱ[)rect(11ax]·ℱ[)comb(11bx]}{21bℱ[)rect(21ay·ℱ[)comb(21by]}将函数展开得T(fx,fy)={}•••++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(111111111b1b1-xxxfbafbafaba{}•••++++)δ()sinc()δ()sinc()sinc(222222222b1b1-yyyfbafbafaba（1）用滤波器（b）时，其透过率函数可写为1fx=+1/b1fy=0F(fx,fy)=0fx1/b1fy=任何值滤波后的光振幅函数为T·F=[])δ()δ()sinc(111111b1b1-++xxffbaba输出平面光振幅函数为t’（x3，y3）=ℱ-1[T·F]=)]}(exp[)](){exp[sinc(13131111b2-b2xjxjbaba+=)(cos)sinc(131111b22xbaba•输出强度分布为I（x3，y3）=)(cos)(sinc1321122121b24xbaba•=)cos()(sinc131122121b42xbaba•-C其中C是一个常数，输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。（2）用滤波器（c）时，其透过率函数可写为1fx，fy0F(fx,fy)=0fx=fy=0滤波后的光振幅函数为T·F={}•••+++)()sinc()()sinc(11111111b1b1-xxfbafbaba{}•••+++)()sinc()()sinc(22222222b1b1-yyfbafbaba输出平面光振幅函数为t’（x3，y3）=ℱ-1[T·F]={[)(rect1311axb])comb(13bx-)rect(1311bxba}×{[)(rect2321ayb])comb(23by-)rect(2322byba}输出强度分布为I（x3，y3）=t’（x3，y3）2有两种可能的结果，见课本中图8．9和图8．10。（3）用滤波器（d）时，输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布，方向与滤波狭缝方向垂直，周期为b’，它与物光栅周期b1、b2的关系为2221111bbb+=’8．2采用图8-53（b）所示滤波器对光栅频谱进行滤波，可以改变光栅的空间频率，若光栅线密度为100线/mm，滤波器仅允许+2级频谱透过，求输出面上干板记录到的光栅的线密度。解答：根据对8．1题的分析，当滤波器仅允许+2级频谱通过时，输出平面上的光振幅应表达为t’（x3）=ℱ-1{)]()()[sinc(111122-bfbfbaxx++}=13111142bxbabacos)c(sin其振幅分布为一周期函数，空间频率是基频的2倍。而干板记录到的是强度分布：I=132112212144bxbabacos)(sinc=13112212182bxbabacos)(sinc-C其中C是一个常数。答：干板上记录到的光栅频率是基频的4倍，即400线/mm。8．3在4f系统中，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d=4，线宽a=1，最大透过率为1，如不考虑透镜有限尺寸的影响，（a）写出傅里叶平面P2上的频谱分布表达式；（b）写出输出平面复振幅和光强分布表达式；（c）在频谱面上作高通滤波，挡住零频分量，写出输出平面复振幅和光强分布表达式；（d）若将一个π位相滤波器exp（jπ）x2，y2≤x0，y0H（x2，y2）=0其它放在P2平面的原点上，写出输出平面复振幅和光强分布表达式，并用图形表示。解答：将8．1题结果代入，其中b1=d=4，a1=a=1，除去与y分量有关的项，可得（a）P2平面上的频谱分布为：})()sinc()()sinc(){sinc()(•••++++=414141-4141xxxxffffT（b）输出平面：复振幅t（x3）=ℱ-1[T（fx）]若不考虑透镜尺寸的影响，它应该是原物的几何像，即t(x3)=)[rect(341x)]comb(43x光强分布I(x3)=|t(x3)|2=)[rect(3161x234)]comb(x(c)挡住零频分量，输出平面情况与8．1题（3）相同，即t(x3)=)[rect(341x)]comb(43x-)rect(4413xI=|t(x3)|2由于a=d/4，所以强度将出现对比度反转，像光栅常数仍为d=4，线宽为a’=3，见下图t（x3）I（x3）0x3············0x3（d）将一个位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为exp（j）fx=fy=0H（fx，fy）=1fx，fy0只考虑一维情况，频谱变为T’（fx）=T（fx）·H（fx）=})()sinc()()sinc()exp(){sinc(•••++++414141-4141xxxffjf=})()sinc()()sinc()sinc({•••++++414141-41-41xxxfff输出平面上的复振幅为t(x3)=ℱ-1[T（fx）·H（fx）]=-)[rect()rect(334141xx+)]comb(43x-)rect(4413x8．4图8-54所示的滤波器函数可表示为：1fx＞0H（ff，fy）=0fx＝0-1fx＜0此滤波器称为希尔伯特滤波器。证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。yL1fyL2xfxx'y'图8.54（题8.4图）解答：位相物可表达为t0（x1，y1）=A·exp[j（x1，y1）]对于弱位相物有1弧度，上式近似为（忽略A）t0（x1，y1）1+j（x1，y1）滤波平面得到T（fx，fy）=ℱ[t0（x1，y1）]=（fx，fy）+j（fx，fy）其中（fx，fy）=ℱ[（x1，y1）]。经希尔伯特滤波器，频谱面后的光分布为T’（fx，fy）=T（fx，fy）·H（ff，fy）j（fx，fy）fx0=0fx0-j（fx，fy）fx0像平面光场复振幅为（以下无把握）t’（x3，y3）=ℱ-1[T’（fx，fy）]j（-x3，-y3）x30=0x30-j（-x3，-y3）x30光强分布为I=t’·t’∗-2（-x3，-y3）x30=0x302（-x3，-y3）x30（此结论和于美文书上的答案不一样，建议取消此题）8．5如图8-55所示，在激光束经透镜会聚的焦点上，放置针孔滤波器，可以提供一个比较均匀的照明光场，试说明其原理。针孔L激光器图8.55（题8.5图）8．6光栅的复振幅透过率为t（x）=cos2πf0x把它放在4f系统输入平面P1上，在频谱面P2上的某个一级谱位置放一块λ/2位相板，求像面的强度分布。解答：将复振幅透过率函数变换为t（x）=cos2πf0x=[1+cos2πf0x]/2其频谱为T（fx）=ℱ[t（x）]21=（fx）+21ℱ[cos2πf0x]=21（fx）+41（fx-f0）+41（fx+f0）其中第一项为零级谱，后两项以次为+1级和-1级谱。设将λ/2位相板放在+1级谱上，其透过率表达为H（fx）=exp（jπ）则频谱面P2后的光振幅变为T’=T·H=21（fx）+41（fx-f0）·exp（jπ）+41（fx+f0）=21（fx）-41（fx-f0）+41（fx+f0）像平面光场复振幅为t’（x）=ℱ-1[T’]=21-41exp（j2πf0x3）+41exp（-j2πf0x3）=21-21jsin（2πf0x3）像平面强度分布为I=t’（x）2=t’（x）·t’（x）∗=41[1-jsin（2πf0x3）][1+jsin（2πf0x3）]=41+41sin2（2πf0x3）像平面得到的仍是一周期函数，其周期缩小1倍，振幅减小4倍，本底也有所变化，并且出现图形的横向位移，位移量为1/2周期。8．7在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中，设图象A、B置于输入平面P1原点两侧，其振幅透过率分别为：tA（x1-l，y1）和tB（x1+l，y1）；P2平面上光栅的空间频率为f0，它与l的关系为：f0=l/λf，其中λ和f分别表示入射光的波长和透镜的焦距；又设坐标原点处于光栅周期的1/4处，光栅的振幅透过率表示为：)(exp)(exp),(2222121202022xfjxfjyxG试从数学上证明：1）在输出平面的原点位置得到图象A、B的相减运算；2）当光栅原点与坐标原点重合时，在输出平面得到它们的相加运算。8．8如何实现图形O1和O2的卷积运算？画出光路图并写出相应的数学表达式。解答：第一步，制作O1的傅里叶变换全息图，光路如下：(x1，y1)L(x2，y2)O1R-bHff全息图H的透过率为tH=|1|2+R02+R01（fx，fy）exp_[-j2πfxb]+R01∗（fx，fy）exp_[j2πfxb]其中1=ℱ[O1]，R0为平面参考波的振幅，b为参考点源的横向位移量。第二步，进行卷积运算。在4f系统中，将O2置于输入平面（x1，y1），全息图置于频谱平面（x2，y2），如图x1,y1x2,y2L1HL2O1O2O2(x1,y1)O2几何像O1∗O2f1f1'f2f2'x3,y3频谱面后的光场为UH'=ℱ[O2]·tH=2·{|1|2+R02+R01（fx，fy）exp_[-j2πfxb]+R01∗（fx，fy）exp_[j2πfxb]}输出平面光场为O2∗ℱ-1[tH]=R02O2+O1O1∗O2+R0O1(x3-b，y3)∗O2+R0O1∗(-x3-b，-y3)∗O2式中第三项即为O1和O2的卷积运算，位置在x3=b处。8．9在4f系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分∂g/∂x，若输入图象g在x方向的宽度为l，光栅频率应如何选取？解答：设复合光栅的空间频率为f0和f0+，则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重像，两个正一级像的位相差等于π，它们离零级像的角间距1、2分别由下式确定sin1=f0，（1）sin2=（f0+）（2）因而正一级像离零级像的线间距分别为l1=sin1·f（3）l2=sin2·f（4）其中f是透镜焦距。分析可知，得到微分结果的条件是l1-l2l/2（l为物的宽度）（5）将（1）、（2）两式代入（3）、（4）两式，再代入（5）式，得到l1-l2=·fl/2fl2（6）因而复合光栅的空间频率差应满足（6）式关系，才能得到微分图像。8．10用4f系统通过匹配滤波器作特征识别，物g（x，y）的匹配滤波器为G*（fx，fy），当物在输入平面上平移后可表示为g（x-a，y-b），求证此时输出平面上相关亮点的位置坐标为xi=a，yi=b。8．11用一个单透镜系统对图象进行θ调制假彩色编码，如图8-55所示。已知调制物Om的光栅空间频率为100线/mm，物离透镜的距离为20cm，图象的几何宽度为6×6cm，试问透镜的孔径至少应多大，才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。（工作波长范围为650.0—444.4nm）。L