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傅里叶光学总结xf(x)01x,0x10其它f(x)={求f(-2x+4)解：f(-2x+4)=f[-2(x-2)]，包含折叠、缩放、平移xf(-x)0-1先折叠xf(-2x)0-1/2再缩放x0f[-2(x-2)]3/2最后平移cos(x),|x|≤π/20其它求f(-x/2+π/4)练习：f(x)={常用函数——变形举例0()xxaL-∧0()xxaL-∧0()xxaL-∧()sgn()2xarectxL()()()2xxarectabLL--∧()cos2xrectxL证明：卷积的位移不变性00()()*()()()()*()()()gxfxhxfhxdfxxhxfxhxdξξξξξξ+∞-∞+∞-∞==--=--∫∫0000000,,()*()()(())()(())()*()()xxddfxxhxfhxxdfhxxdfxhxxgxxξξξξξξξξξξξξ+∞-∞+∞-∞′′′-==+=′′-=-+′′=--=-=-∫∫设则则ldxy(透透透透过率过率过率过率=输出输出输出输出/输入输入输入输入)利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率双圆孔屏的透过率双圆孔屏的透过率双圆孔屏的透过率。。。。若在其中任一圆孔若在其中任一圆孔若在其中任一圆孔若在其中任一圆孔上嵌入上嵌入上嵌入上嵌入ππππ位相板位相板位相板位相板，，，，透过率怎样变化透过率怎样变化透过率怎样变化透过率怎样变化？（？（？（？（****(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)((,)(,)),;,;,(,)((,ffffffffxyfxyfxyfxyfxyrxyrxyfxyfxyffxyddffxyddxyxyddddrxyfxyξηξηξηξηξηξηξξηηξξηηξξηηξ***+∞-∞+∞-∞==----=--==--=--′′′′′′-=-==+=+==′′=++∫∫证明:r★★★令则******)(,))((,)(,))((,)((),()))(,)fffddffxyddffxyddrxyηξηξηξηξηξηξηξηξη+∞-∞+∞-∞+∞-∞′′′′′′′′′′=++′′′′′′=----=--∫∫∫**()()()()()()()()()()(())()()fhxfxhxfxhxfxhxfhxdfhxdfxhxξξξξξξ*+∞+∞*-∞-∞==*-=-=--=*-∫∫证明:r★★证明：实函数的自相关函数是实的偶函数*(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),;,;,(,)(,)(,)(,)(,)(,)ffffrxyfxyfxyffxyddffxyddxyxyddddrxyfxyfddffxyddffξηξηξηξηξηξηξξηηξξηηξξηηξηξηξηξηξηξηξη+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞==--=--′′′′′′-=-==+=+==′′′′′′=++′′′′′′=++′′=∫∫∫∫★令则((),())(,)ffxyddrxyξηξη+∞-∞′′′′----=--∫sinc(x)δδδδ(x-1)=tri(x)δδδδ(x+0.5)=sinc(x)*δδδδ(x-1)=tri(x)*δδδδ(x+0.5)=0sinc(x-1)1x2010.5δδδδ(x+0.5)1x0-110.5-0.5tri(x+0.5)0-0.510.5-1.5x求函数求函数求函数求函数g(x)=rect(2x)*comb(x)的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数的傅里叶级数展开系数周期τ=1宽度=1/212)(24141220===∫∫--dxdxxgaτττ=-===∫∫--2sinc4/14/1)2sin()2cos(2)2cos()(2414122nnnxdxnxdxnxxganππππτττ0)2sin()(2220==∫-ττπτdxxnfxgbn频率f0=10001()(cos2sin2)2nnnagxanfxbnfxππ∞==++∑122cos(2)cos(6)...23xxππππ=+-+{}{}11(,)(,)(,)fxyfxyfxy--ℑℑ=ℑℑ=--{}{}(,)(,)(,)exp(2())(,)exp(2(()()))(,)xyxyxyxyxyxyxyfxyGffGffjfxfydfdfGffjfxfydfdfgxyππ+∞-∞+∞-∞ℑℑ=ℑ=-+=-+-=--∫∫2()()()gxdxgxgxdx+∞+∞*-∞-∞=∫∫交换积分顺序,先对x求积分:()(')'exp[2(')]GfGfdfdfjffxdxπ+∞+∞+∞*-∞-∞-∞=⋅-∫∫∫利用复指函数的F.T.()(')(')'GfGfffdfdfδ+∞+∞*-∞-∞=-∫∫利用δ函数的筛选性质()()GfGfdf+∞*-∞=∫帕色伐定理Parseval()()exp(2)(')exp(2')'GfjfxdfGfjfxdfdxππ+∞+∞+∞*-∞-∞-∞=⋅-∫∫∫证明：]),(),([][∫∫∞∞---=*βαβαβαddyxhgFhgFdxdyyfxfiddyxhgyx)](2exp[]),(),([+---=∫∫∫∫∞∞-πβαβαβαβαβαπβαddffigffHyxyx)](2exp[),(),(+-=∫∫HGffGffHyxyx⋅=⋅=),(),(dxdyffiyfxfiddyxhgyxyx)](2exp[)]()((2exp[]),(),([βαπβαπβαβαβα+--+----=∫∫∫∫∞∞-βαβαπβαπβαβαddffidxdyyfxfiyxhgyxyx)](2exp[])]()((2exp[),([),(+--+----=∫∫∫∫∞∞-),(yxffH[]FghGH*=⋅证明{comb(x)}==)(comb1ττx{1}={δ(fx,fy)}={rect(x)}={sinc(x)}=δ(fx,fy);11与δ函数互为F.T.comb(f)comb(τf)sinc(f);rect(f){δ(x-a)}={exp(j2πfax)}=exp(-j2πfxa)δ(fx-fa){}=)2(cos0xfπ)]()([2100ffffxx++-δδ{tri(x)}=sinc2(f)系统的输入:f(x,y)=[1+cos(8πx)]rect(x/75)脉冲响应:h(x,y)=7sinc(7x)δ(y)()()()()11144()775sinc7522xxxxxffffrectδδδ-+-++*=F(){}()1x1cos8π75sinc75frect7xxfF-+=*F()(){}1175sinc75rect75sinc75rect775xxxfxff--≅≅=FF()()()(){}11cos8π7sinrectx,c757gyxxxyδ-+=FFF3.53.5xf-≤≤间隔为3的脉冲阵列,基频为1/3在有限空间区域不为零,|x|25三角波,底宽为2)(50rect3comb31)(xxxxgΛ*=输入0-25-3325............xg(x)1光栅由无穷多狭缝构成,每条狭缝的宽度均为a,相邻缝的中心矩(光栅常数)为d(d›a),且光栅被限制在边长为L的正方形内,求光栅频谱]111111111(,)[()*()[()*()]()()nxxxxytxyrectxndrectcombrectrectaaddLLδ∞=-∞=-=•∑物面像面x0xildi如图,光阑缝宽3cm,透镜焦距5cm,照明波长10-4cm,成像倍率为1,如果物体是振幅透过率t0=∑δ(x0-nd)的理想光栅,周期d为0.01mm,求像的强度分布1,=150/mm2()()0xixicxlfdfdHfrectlλλ≤==，其他01()()()igiinxUxUxndMMδ∞=-∞==-∑1()()gxxnnGffddδ∞=-∞=-∑111()()()()()()ixgxcxxxxGfGfHffffdddδδδ==+-++1100/mmd=()1exp(2)exp(2)12cos2iiiiixxxUxjjdddπππ=++-=+物面像面x0xildi如图,光阑缝宽2cm,透镜焦距5cm,照明波长10-4cm,成像倍率为1,如果物体是振幅透过率t0=∑δ(x0-nd)的理想光栅,周期d为0.01mm,求像的强度分布1,=200/mm()()/0xxixilffdfldλλ≤=∧=，其他H01()()()igiinxUxUxndMMδ∞=-∞==-∑()()xxnnffdδ∞=-∞=-∑gA111111()()()()(1)(1)()(1)()()()()///22xxxixgxxxxxxxiiiffffffffffffldlddlddddδδδδδδλλλ==-+--+-+=+-++AAH1100/mmd=1()1exp(2)exp(2)1cos22iiiiixxxIxjjdddπππ=++-=+有一单透镜成像系统，其圆形边框的直径为7.2cm，焦距为10cm，且物和像等大。设物的透射率函数为：式中b=0.5×10-3cm，。今用λ=600nm的单色光垂直照射该物，试解析说明在相干光和非相干光照射情况下，像面上能否出现强度起伏？解物周期：其频率为：线/mmmm故线/mm，线/mm在相干照射条件下，，系统的截止频率小于物的基频，此时，系统只允许零频分量通过，其他频谱分量均被档住，所以物不能成像，像面呈均匀分布在非相干照射下，，系统的截止频率大于物的基频，故零频和基频均能通过系统参与成像，在像面上将有图像存在。基于这种分析，非相干成像要比相干成像好。)/2sin()(bxxtπ=2/1bT=1112400fTb===02200iddf===3002ciDfdλ==0600iDfdλ==1cff10ff设物的透射率函数为解物周期：其频率为：线/mmmm线/mm，线/mm在相干照射下，这个呈正弦分布的物函数复振幅能够不受衰减地通过此系统成像对于非相干照射方式，物函数的基频也小于其截止频率，故此物函数也能通过系统成像，但其幅度要随空间频率的增加受到逐渐增大的衰减，即对比度降低由此可见，在这种物结构中，相干照射方式比非相干照射方式要好()sin(2/)txxbπ=1Tb=1111200fTb===02200iddf===3002ciDfdλ==0600iDfdλ==10cfff摄影时由于不小心,在横向抖动了2a,形成两个像的重影,试设计一个改良次照片的逆滤波器•解:依题意,每个物点成像为两个点,即引起成像缺陷的点扩散函数为•其傅氏变换为•得到逆滤波器的滤波函数为(,)()()hxyxaxaδδ=++-{}22(,)(,)2cos(2)xxjfajfaxyxHffhxyeefaπππ-=ℑ=+=11(,)(,)2cos(2)xyxyxHffHfffaπ′==在4f系统输入平面处放置40线/mm的光栅,入射光波长为632.8nm,为了使频谱面上至少能够获得±5级衍射斑,并且,相邻衍射斑间距为2mm,求透镜的焦距和直径•解:设光栅尺寸很大,则其透过率为•其频谱为•各级频谱中心空间坐标为•相邻频谱空间间隔为•得到•透镜的截止频率为•解得1()()*()xxtxrectcombadd=()sin()()xxmamamTfcfdddδ=-∑2xmfxffdλλ==2fxdλΔ=279xdfmmλΔ⇒==52cDffdλ==1020fDmmdλ==利用4f系统作阿贝伯特实验,设物函数为一正交光栅,其中,a\b分别是对应的缝宽和缝间隔,若只让x方向的±