数学的工具性理解和关系性理解——姚敏

数学的工具性理解和关系性理解报告人：姚敏目录一、理论的背景二、两类数学理解的概述三、案例说明两类数学理解四、理论的课程意义一、理论的背景1.1理解的网络联系说：希尔伯特认为外部表征和内部表征存在着联系。他认为如果一个数学概念等成为内部表征网络的一部分，那么数学知识就被理解了。1.2理解的表征转化说：布鲁纳将表征分为动作表征、表象表征、书面符号标志三类。莱斯又加入了口头语言表征、现实情境表征，发展为五类表征。他们都认为正是在用不同的表征方式来表征数学概念并实现表征方式内部之间的转化中，学生获得了数学理解。1.3理解的类型层次说：1976年英国著名数学教育家及心理学家RicardR.Skemp(斯根普)从数学知识的特征出发，明确提出了数学理解有2种类型——工具性理解、关系性理解。而在此之前，人们对理解的讨论还停留在个体是理解了一个对象还是没有理解，是部分理解还是全部理解，从未考虑还有不同类型的理解。1.4理解的类型层次说的本土化进程：初期，我国认识到对概念或法则的学习过程而言，工具性理解应当是其中一个重要的、甚至是不可缺少的环节，因而，在教学中十分注重数学工具性理解，采取的多是传统的定义（定理）-实例-练习-习题的数学教学模式。后期，中国研究者一直认为“知其然而不知其所以然”乃是一种机械记忆，不能归属于理解的范围．新课改以来，更强调课堂教学要设定“过程性目标”，即认为学习必须“知其然而且要知其所以然”，必须揭示知识的发生过程。学者大都研究如何从“工具性理解”向“关系型理解”的转变，加强过程性教学，却都未对“工具性理解”的价值做出更多的阐述。二、两类数学理解的概述2.1工具性理解的概念斯根普指出工具性理解是一种语义理解：理解符号A所指代的事物是什么；或者是一种程序性理解，一个规则R所指定的每一个步骤是什么，如何操作等．简言之，就是按照语词的本意和计算程序进行操作，即“只知是什么，不知为什么”。2.2关系性理解的概念斯根普指出关系性理解则还需对知识意义和替代物本身结构上的认识，获得概念和规律（定律、定理、公式、法则等）的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等，简言之：“不仅知道要做什么，而且知道为什么”。2.3工具性理解的分类1）识记性理解：认识并能记忆，例如正弦的定义与符号。2）描述性理解：描述其意义，便于识记．例如负负得正，做一些合理性的解释。3）确认性理解：举例说明其正确，获得确认．例如分数的颠倒相乘．举一些具体数字的实例，加以确认。4）功能性理解：说明其作用，便于使用．例如直角坐标系．关注原点，表示数学对象。5）平台式理解：接受下来，投入使用．例如数轴上点和实数系中的数是一一对应关系。2.4关系性理解的分类1）证明性理解：运用逻辑演绎方法展示其生成过程，证明其正确，说明结论为什么成立，如勾股定理的证明。2）论说性理解：例如函数概念的形成、实例操作、过程展示、明确对象整体把握概念。3）反思性理解：将本原的理解提升为数学思想方法的运用．例如对数，本原理解是作为指数运算的逆运算，进一步用RMI原理说明乘法运算映射为加法运算形成同构关系。4）结构性理解：用公理化方法揭示其内部结构．例如从有理数公理化体系说明负负得正的合理性，揭示其内在结构的特质。2.5工具性理解的优点1）对于数学技能的学习而言，这种教学模式给学生提供了易懂、易模仿、易记忆并可以很快得到标准性问题的答案的捷径。2）工具性理解的教学过程所包含的知识较少，学生更容易迅速获得这类问题的正确答案。3）这样的教学可以使学生更快地得到学习上的回报有利于引发其进一步的学习动机2.6工具性理解的缺点①工具性理解的教学模式只关注学生能否依据固定的程序去获得答案，其它则很少关注，这使得学生通常更关心怎么做而不大去思考为什么可以这样做及更进一步的还可以怎么做等。②不利于学生在全新的情境内去应用该知识即迁移，也就不利于其长期的数学能力的发展。2.7关系性理解的优点1）更有益于学习者解决新的问题。当学生对知识的理解是关系性理解时，他们可以把在一种情境中获得的知识迁移到另一种全新情境的学习或问题解决活动中去，而不只是用在相似的情境之中。2）更容易记忆就整个数学公式体系而言如果按照工具性理解的学习方式，学生们需要记忆许多单个的公式，这给记忆带来很大负担，而关系性理解则使得学生通过对于不同公式之间本质性关系的理解去获得对于公式的整体把握，这样的学习更有利于长时记忆。3）有助于形成高质量的知识结构就知识的组织形式而言，数学知识的关系图式是一种最佳的数学知识组织形式，一旦学生获得了有效的关系图式，则他不但可以对所面临的数学素材采取关系性理解的学习方式，而且还会主动地去探索那些未知新领域中的数学关系。三、案例说明两类数学理解案例3.1二元一次方程组的理解1）工具性理解①会用消元法、代入法解数字系数的二元一次方程；②会用二元一次方程求解鸡兔同笼等问题。2）关系性理解①知道字母系数的二元一次方程求解的过程；②理解代入法是一种化归为一元一次方程的数学思想方法；③注意到系数行列式不为0的要求；④能够比较代数方法和算术方法求解鸡兔同笼等问题的区别与联系。𝑎2+𝑏2=𝑐2案例3.2基本不等式——如果a、b∈R，那么≥2ab（当且仅当a=b时不等式取“=”号）的理解22ab1）工具性理解①需要知道这是一个绝对不等式，即恒不等式；②能够应用于数字大小的比较、函数的最值、以及参数的适用范围等简单问题的求解。2）关系性理解①演绎证明（综合法）（比较法）（反证法）（分析法）通过演绎证明，揭示了基本不等式各个量之间的相互关系，理解了这一不等式成立的根据．222a-b02abab22222202ababababab则2222,0,ababab假设则矛盾222222,20,0ababbabab欲证只要证a而②将之提升到数学思想方法，认识到它们最后都是“化归”为20ab③通过变式练习和反思，获得此不等式的巨大的应用价值，把握其本质，进一步体会“基本”的含义．如推演以下的不等式：2221),2)222134)a115)26)a11abaababRabbRbaabRabbabbbaaaRaRaa）四、理论的课程意义4.1理解的类型层次说的课程意义1）针对不同的教材内容，依据学生的认知水平，设置相应不同的理解目标。例如，对于以下四类内容，我们应该只要求学生达到工具性理解水平。a)前人使用的语言,乃是前人形成的习惯.只要记忆模仿、知其然（sinx)b)约定俗成的规则(负负得正)至于确切知道负负得正的所以然，就需要从有理数公理化体系上加以诠释，那就超出了基础教育的范围。c)无法严格处理的内容（面积的定义）d)一些基本技能的训练．中小学课程里有大量的基本技能训练要求，在一开始时无法说清为什么要这样做，只能当作平台接受下来。（因式分解）2）工具性理解和关系性理解是学生学习好数学知识的两个缺一不可的方面，启发教师在教学中①既要通过定义（定理）-实例-练习-习题的数学教学模式打牢工具性理解的基础，②又要注重从工具性理解向关系性理解的转化，通过探究性学习，使学生获得知识发生发展过程；通过变式训练，达到知识本质认识；通过总结，引导学生主动构建知识网络，实现关系性理解。[参考文献][1]马复.试论数学理解的两种类型[J]数学教育学报.2001，10（3)50．[2]钟志华．数学理解的类型[J]．数学教学研究，2007,(10)2．[3]任伟芳，偶伟国，龚辉，张敏，朱赛飞，王继光，张奠宙.“工具性理解”“关系性理解”和“创新性理解”.数学教育学报[J].2014,8(23)4.[4]巩子坤.数学理解说及其理论与课程意义.比较教育研究[J].2009,7