匹配滤波器

匹配滤波器我们的任务是，对于一个已知信号()st，设计一种最佳滤波器。该滤波器在白噪声()nt背景下，能最大限度地提高信噪比，以在信噪比最大的前提下检测信号()st的有无。毫无疑问，这会给信号检测带来好处。该问题的一个应用例是主动声纳检测回波目标的有无。对于收发合置的主动声纳而言，发射信号波形是已知的。由于接收换能器处噪声的存在，检测时，需要尽可能地抑制噪声，提高信噪比。如图所示，设滤波器的输入信号是()()stnt，s(t)的频谱为S(w)，()nt是输入噪声双边功率谱密度为2)(0NwPn，N0为噪声的单边功率谱密度；输出信号是oo()()stnt，其中o()st为s(t)的响应，是有用信号分量，o()nt是输出中的白噪声分量；()Hj是传递函数，亦即我们要设计的滤波器的频率响应函数。设滤波器的输出为Y(t)=so(t)+no(t)()在某时刻t0使输出信号so(t0)的瞬时功率与输出噪声no(t)的平均功率之比(称作输出信噪比)最大的线性滤波器被称为信号s(t)的匹配滤波器，如下所示：图2.2.1.1在相同的条件下(输入相同)，不同滤波器的信噪比不一样，其中在t=t0最佳抽样时刻的输出信噪比最大的滤波器就是匹配滤波器。因此又称匹配滤波器为最大输出信噪比的最佳线性滤波器。匹配滤波器的传输特性与单位冲激响应，实际上就是求t=t0最佳抽样时刻的输出信噪比最大的()Hj或h(t)。令so(t)的频谱为S0(w)，即()()oostS，根据线性电路理论有()()()oSSHj(2.2.2.1)()Hj()()stntoo()()stnt图信号与噪声通过滤波器()()htHY(t)t=toX(t)由此得11()()()()22jtjtoostSedSHjed(2.2.2.2)在t0时刻输出信号的瞬时功率为20)(tso，输出噪声的统计平均功率为)(02tnEo；输出信噪比为)()(0220tnEtsrooo(2.2.2.3)设输入信号的功率谱密度为()XP，输出信号的功率谱密度为()YP，则有公式2()()()YXPHjP(2.2.2.4)根据式(2.2.2.4)，no(t)的功率谱密度为20()()2onNPH(2.2.2.5)no(t)的平均功率为22011()()()222oonNEntPdHd(2.2.2.6)从而，02201()()21()22jtoHjSedrNHjd(2.2.2.7)ro与()Hj有关。在t=t0时刻，使ro最大的()Hj，即为匹配滤波器的传输特性函数。下面利用许瓦尔兹不等式求使ro最大的()Hj。许瓦尔兹不等式表述如下：对于任意复函数X(ω)、Y(ω)，存在不等式如下222111()()()()222XYdXdYd(2.2.2.8)且当()()XKY时，式(2.2.2.8)变为等式，其中K为常数。将式(2.2.2.8)用于(2.2.2.7)的分子中，且令0()(),()()jtXHYSe(2.2.2.9)则得到2222200011()()()24()4oHjdSdSdErNNNHd(2.2.2.10)其中E为信号s(t)的能量。式(2.2.2.10)说明，线性滤波器在t=t0抽样时刻所能给出的输出信噪比为00max2ttoNEr(2.2.2.11)此值出现于式()()XKY成立时，此时有0()()jtHKSe(2.2.2.12)这就是最佳匹配滤波器的传输特性函数。由式(2.2.2.12)可知，使输出信噪比最大的线性滤波器的传输特性函数与信号s(t)频谱的复共轭相一致。因此，这种滤波器称为信号s(t)的匹配滤波器。根据滤波器的单位冲激响应与传输特性互为傅里叶变换的关系，可求出匹配滤波器的单位冲激响应：01()()()2jthtHjedKstt(2.2.2.13)为使匹配滤波器物理可实现，要求当t0时有h(t)=0。要满足这个条件，就必须有s(t0-t)=0，t0，即s(t)=0，tt0(2.2.2.14)这说明，若s(t)在t=T时刻消失，则只有当Tt0时，匹配滤波器才可实现。一般总希望t0尽量小，所以通常选t0=T，此时有)()(tTKsth若s(t)的持续时间为(0~T)，即s(t)=0，t0或tT；且选t0=T，则s(t)的匹配滤波器的单位冲激响应)()(tTKsth的持续时间也是(0~T)。令匹配滤波器(与s(t)匹配)的输入为x(t)，则输出)()()()()()()()()()(00TtKRdtxTsKdtxTKsdtxhthtxtySXTT(2.2.2.15)即y(t)是s(t)与x(t)的互相关函数。当x(t)=s(t)时，则)()()()(0TtKRdtsTsKtyST(2.2.2.16)即此时y(t)是s(t)的自相关函数。