(数学类)竞赛讲座(线性代数)Autumn2013-(2)

大学生数学竞赛(数学类)竞赛讲座(线性代数部分)四川大学数学学院,2013年秋Contents1线性代数的基本概念、主要结论21.1多项式的基本概念与主要结论..........................21.2向量空间、线性方程组的基本概念与主要结论.................21.3行列式、矩阵的基本概念与主要结论......................21.4线性空间、线性映射的基本概念与主要结论..................31.5线性变换、矩阵的相似基本概念与主要结论..................31.6二次型、欧式空间、线性函数的基本概念与主要结论.............32多项式理论及其应用43分块矩阵及其广义初等变换74Jordan标准型理论及其应用115方阵与线性变换166几个特殊方法1911线性代数的基本概念、主要结论1.1多项式的基本概念与主要结论1.一元多项式环F[x]2.带余除法、整除、公因式、最大公因式、互素、重因式3.不可约多项式、唯一分解定理、多项式的标准分解式4.代数基本定理、实数域上的多项式5.有理数域上的多项式理论（本原多项式、有理根、Eisentein判别法）6.多元多项式、对称多项式及其基本定理7.多项式理论在线性代数中的应用•方阵(线性变换)的多项式,可交换,准素分解•方阵(线性变换)的特征多项式•方阵的相似理论(λ-矩阵理论)1.2向量空间、线性方程组的基本概念与主要结论1.向量空间Fn2.线性方程组的一般形式、向量形式、解与解集、Gauss消元法3.线性关系、基本引理、向量组的秩、矩阵的秩、矩阵的初等变换、阶梯形矩阵4.线性方程组有解的判别定理5.齐次线性方程组的解的结构定理、非齐次线性方程组的解的结构定理6.Cramer法则1.3行列式、矩阵的基本概念与主要结论1.行列式的定义、基本性质、代数余子式、展开定理、方阵乘积的行列式、计算；三角行列式；Vandermonde行列式2.行列式的应用：Cramer法则；矩阵的秩与子式的关系；可逆矩阵；特征值；正定二次型的判别3.矩阵的运算及其基本性质、方阵的多项式4.矩阵的秩、矩阵的初等变换25.分块矩阵、广义初等矩阵、广义初等变换6.方阵的Hamilton-Caylay定理7.特殊矩阵(基本矩阵、三角矩阵、初等矩阵、对称与反对称矩阵、正交矩阵)1.4线性空间、线性映射的基本概念与主要结论1.线性空间的定义、向量组的线性关系、基与坐标（基扩充定理、基变换与坐标变换）、线性映射（核与像、矩阵）2.子空间的定义、子空间的交与和3.线性映射存在唯一性定理、线性映射的维数公式4.子空间的维数公式5.子空间的直和6.线性空间的同构定理7.对偶空间、线性函数、对偶定理1.5线性变换、矩阵的相似基本概念与主要结论1.线性变换的定义、核、像、运算(线性变换的多项式)2.线性变换与方阵的关系3.线性变换(方阵)的特征向量、特征值、特征多项式、零化多项式、极小多项式4.线性变换(方阵)的不变子空间5.线性变换(方阵)的对角化问题6.λ-矩阵理论与方阵相似理论7.线性变换(方阵)的Jordan标准型理论及其应用1.6二次型、欧式空间、线性函数的基本概念与主要结论1.二次型的定义、度量阵、矩阵的合同(非退化线性替换)2.对称矩阵都合同于一个对角阵、二次型的标准型3.实二次型(实对称矩阵)的基本理论(特征值、特征向量、正交相似、规范型、惯性定理)、正定矩阵34.内积空间、欧式空间5.欧式空间的标准正交基(Schmidt正交化)、对称变换、正交变换6.对偶空间、对偶定理2多项式理论及其应用1.设f(x),g(x)是整系数多项式,且g(x)是首一的.证明:g(x)整除f(x)当且仅当对无穷多整数a都有g(a)整除f(a).证明:必要性是显然的,因为此时商f(x)g(x)是整系数多项式.下面证明充分性.由Euclidean算法我们可以设f=gq+r,而且由于g(x)是首一的,所以q(x),r(x)都是整系数多项式.假设g(x)不整除f(x).则∂r∂g.由充分性假设知,存在无穷多整数a使得0̸=r(a)g(a)=f(a)g(a)−q(a)∈Z.但是,由∂r∂g知,当x→∞时有r(x)g(x)→0.矛盾.2.[第一届中国大学生数学竞赛赛区赛(数学类,2009)第二题].设Cn×n是n×n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间,F=00...0−an10...0−an−101...0−an−2...............00...1−a1.(1)假设A=a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann,若AF=FA,证明:A=an1Fn−1+an−1,1Fn−2+···+a21F+a11E;(2)求Cn×n的子空间C(F)={X∈Cn×n|XF=FX}的维数.解答.我们先解答(2).易见,F的行列式因子为1,1,···,1,f(λ),其中,f(λ)=λn+a1λn−1+···+an−1λ+an.设f(λ)=(λ−λ1)r1(λ−λ2)r2···(λ−λs)rs,4其中,λ1,···,λs是f(λ)的全部互不相同的全部复根.于是,F的全部初等因子为(λ−λ1)r1,···,(λ−λs)rs,从而F的Jordan标准型为J=J1J2...Js,其中,Ji=Jri(λi)是对角元为λi的ri×ri型的Jordan块.设B=(Bij)∈C(J)是与J有相同分块方式的分块矩阵.由于Ji与Jk(i̸=k)的特征多项式互素,所以Bij=0(i̸=j)且Bii∈C(Ji).由此即得dimC(J)=r1+r2+···+rs=n.从而由F∼J得dimC(F)=n,这就完成了(2),而且,E,F,F2,···,Fn−1构成C(F)的一个基(因为F的极小多项式就是f(λ),是一个n次多项式).由(2)及A∈C(F)可设A=ynFn−1+···+y1F+y0E.设εi=(0,···,0,1,0,···,0)T是Cn的基本向量,则Fε1=ε2,F2ε1=Fε2=ε3,···,Fn−1ε1=Fεn−1=εn.从而α1=Aε1=(ynFn−1+···+y1F+y0E)ε1=ynεn+yn−1εn−1+···+y2ε2+y1ε1=(yn,yn−1,···,y2,y1)T,其中,α1为A的第一个列向量.这就证明了(1).3.[第一届中国大学生数学竞赛赛区赛(数学类,2009)第三题].假设V是复数域C上的n维线性空间(n0),f,g是V上的线性变换.如果fg−gf=f,证明:f的特征值都是0,且f,g有公共的特征向量.证明.用数学归纳法容易得到tr(fk)=0对任意k≥1成立.从而由Newton公式知f的特征值全为0.取f的属于0的特征子空间W.则W也是g的不变子空间,从而g在W上的限制g|W有特征向量,此即为f与g的公共特征向量.证毕.4.[第二届国际大学生数学数学竞赛(保加利亚,1995)题1.5].已知A,B为n×n实矩阵.假设存在n+1个不同的实数t1,···,tn+1使得矩阵Ci=A+tiB(i=1,2,···,n+1)是幂零的(即,Cni=0).证明:A和B也都是幂零的.5解答:我们可以设(A+tB)n=An+tP1+···+tn−1Pn−1+tnBn,其中,矩阵P1,···,Pn−1与t无关.对任意1≤i,j≤n,设An,P1,P2,···,Pn−1,Bn的(i,j)-元分别为a,p1,···,pn−1,b.则多项式f(x)=a+p1x+···+pn−1xn−1+bxn至少有n+1个根,但∂(f(x))≤n,所以,f(x)≡0,从而,由(i,j)的任意性得An=0,Bn=0.5.[第三届中国大学生数学竞赛决赛(数学类,2012)第六题].设{Ai}i∈I和{Bi}i∈I是数域F上两个矩阵集合,称它们在F上相似:如果存在F上与i∈I无关的可逆矩阵P使得P−1AiP=Bi,∀i∈I.证明:有理数域Q上两个矩阵集合{Ai}i∈I,{Bi}i∈I,如果它们在实数域R上相似,则它们在有理数域Q上也相似.解答:由于Mn(Q)和Mn(R)都是n2维的,所以它们中的任意非空子集都有由有限多个元素组成的极大线性无关子组.不妨设{A1,···,As}是{Ai}i∈I的作为Mn(Q)的子集的一个极大线性无关子组,则{A1,···,As}也是{Ai}i∈I的作为Mn(R)的子集的一个极大线性无关子组.由于{Ai}i∈I和{Bi}i∈I在R上相似,即,存在与i无关的可逆的实矩阵P使得P−1AiP=Bi,i∈I,所以,{B1,···,Bs}是{Bi}i∈I的作为Mn(R)的子集的一个极大线性无关子组的一个极大线性无关子组,从而,{B1,···,Bs}也是{Bi}i∈I的作为Mn(Q)的子集的一个极大线性无关子组的一个极大线性无关子组.所以,只需证明:{A1,···,As}和{B1,···,Bs}在Q上相似,即,只需证存在与i无关的Q上的可逆矩阵Q使得Q−1AiQ=Bi,1≤i≤s.分别考虑Q和R上的线性空间WQ={X∈Mn(Q)|AiX=XBi,1≤i≤s},WR={Y∈Mn(R)|AiY=YBi,1≤i≤s}.由于WQ和WR都是系数在Q中的线性方程组的解空间,所以它们有相同的维数,且它们的基础解系都可以相同地取为Q上的矩阵.进一步,根据假设,WR中存在可逆的实矩阵Y0,从而是非零空间,于是,WQ也是非零空间,从而只需证明WQ中存在可逆的矩阵.所以可以取X1,···,Xr∈Mn(Q)为WQ和WR的公共的基.考虑Q上的r-元多项式f(x1,···,xr):=det(x1X1+···+xrXr).注意到,f(x1,···,xr)也是R上的多项式.6由可逆的Y0∈WR的存在性知,f(x1,···,xr)是非零多项式.由于Q是无限集,所以存在a1,···,ar∈Q使得f(a1,···,ar)̸=0,从而矩阵Q=a1X1+···+arXr∈WQ⊆Mn(Q)为所求.证毕.注记:(a)本题的关键一步是要看到只需考虑有限的1≤i≤s.(b)对每个1≤i≤s,由Ai和Bi在R上相似和行列式因子理论知,Ai和Bi在Q上也是相似的,即,存在Q上的可逆阵Qi(一般地,与i有关)使得Q−1iAiQi=Bi.本题的难点在于要找到与i无关的Q上的可逆矩阵Q.(c)本题的Q,R可以是任意的有包含关系的数域F⊂K.本题的特殊情况(当I是单点集时)是如下的结论:“设F⊂K是数域,A,B∈Mn(F).则A,B在F上相似当且仅当A,B在K上相似”.当然这种特殊情况可直接由行列式因子理论立得到.3分块矩阵及其广义初等变换1.[第11届国际大学生数学竞赛(马其顿,2004)题2.1]:设A为4×2实矩阵,B为2×4实矩阵,满足AB=10−10010−1−10100−101.求BA.提示:考虑分块矩阵:A=(A1A2),B=(B1B2).2.设A为s×n型矩阵.证明:rank(En−A′A)−rank(Es−AA′)=n−s,其中,Es,En分别为s阶,n阶单位阵.提示:分别作广义初等变换:(EnA′AEs)→(En00Es−AA′);(EnA′AEs)→(En−A′A00Es).73.设A为数域F上的n阶方阵,f(x),g(x),h(x)为F上的多项式,满足f(x)=g(x)h(x),(g(x),h(x))=1且r(g(A))+r(h(A))=n.这里r(A)表示矩阵A的秩.证明:f(A)=0.证明:由(g(x),h(x))=1可知,存在F上多项式u(x),v(x)使得u(x)h(x)+v(x)g(x)=1.于是u(A)h(A)+v(A)g(A)=En.对分块矩阵(g(A)00h(A))进行初等变换,我们得到(g(A)00h(A))→(g(A)v(A)g(A)0h(A))→(g(A)En0h(A))→(g(A)En−h(A)g(A)0)→(0Enf(