数学分析(2)试题及答案

（十六）数学分析2考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(xf在[a,b]上可积的必要条件是（）A连续B有界C无间断点D有原函数2、函数)(xf是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（）Aaaadxxfdxxf0)(2)(B0)(aadxxfCaaadxxfdxxf0)(2)(D)(2)(afdxxfaa3、下列广义积分中，收敛的积分是（）A101dxxB11dxxC0sinxdxD1131dxx4、级数1nna收敛是1nna部分和有界且0limnna的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件5、下列说法正确的是（）A1nna和1nnb收敛，1nnnba也收敛B1nna和1nnb发散，1)(nnnba发散C1nna收敛和1nnb发散，1)(nnnba发散D1nna收敛和1nnb发散，1nnnba发散6、)(1xann在[a，b]收敛于a（x），且an（x）可导，则（）A)()('1'xaxannBa（x）可导Cbanbandxxadxxa)()(1D1)(nnxa一致收敛，则a（x）必连续7、下列命题正确的是（）A)(1xann在[a，b]绝对收敛必一致收敛B)(1xann在[a，b]一致收敛必绝对收敛C若0|)(|limxann，则)(1xann在[a，b]必绝对收敛D)(1xann在[a，b]条件收敛必收敛8、012121)1(nnnxn的和函数为AxeBxsinC)1ln(xDxcos9、函数)ln(yxz的定义域是（）A0,0|),(yxyxBxyyx|),(C0|),(yxyxD0|),(yxyx10、函数f(x,y)在（x0,,y0）偏可导与可微的关系（）A可导必可微B可导必不可微C可微必可导D可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分）1、914)(dxxf，求202)12(dxxxf2、计算02221dxxx3、计算11nnxn的和函数并求1)1(nnn4、设023yxzz，求)1,1,1(xz5、求22200limyxyxyx三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、讨论)0,0(),(0)0,0(),(),(2222yxyxyxyxxyyxf在（0，0）点的二阶混合偏导数2、讨论221sin2)1(nnnnnx的敛散性四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1xf在[a，b]上Riemann可积，),2,1()()(1ndxxfxfbann，证明函数列)}({xfn在[a，b]上一致收敛于03、设)(xf在[a，b]连续，证明00)(sin2)(sindxxfdxxxf，并求02cos1sindxxxx参考答案一、1、B2、B3、A4、c5、C6、D7、D8、C9、C10、C二、1、2022202)12()12(21)12(xdxfdxxxf（3分）令122xu，912022)(21)12(duufdxxxf（3分）2、02221dxxx=4)1arctan(lim)1()1(11lim002AAAAxxdx（6分）3、解：令)(xf=11nnxn，由于级数的收敛域)1,1[（2分），)('xf=xxnn1111，)(xf=)1ln(110xdttx（2分），令1x，得2ln)1(1nnn4、解：两边对x求导02232xxxzzzz（3分）xzzzx2322（2分）2)1,1,1(xz（1分）5、解：xyxyx||0222（5分）0lim22200yxyxyx（1分）由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxyyxfx（2分）000)(4),(22222222224yxyxyxyyxxxyxfy(4分）1)0,0(),0(lim)0,0(02yfyfxyzxxy1)0,0()0,(lim)0,0(02xfxfyxzyyx（6分）2、解：由于xnxnnnnn221sin2|sin2)1(|lim（3分），即1sin22x级数绝对收敛1sin22x条件收敛，1sin22x级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1xf在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即0M，使得]),[()(1baxMxf，（3分）从而)(|)(|)(12axMdttfxfxa一般来说，若对n有)!1()()(1naxMxfnn（5分）则)()!1()()(1nnabMxfnn，所以)}({xfn在[a，b]上一致收敛于0（2分）aaTaTdttfTtdTtftTxdxxf00)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、yexzyx1，2yxeyzyx，（7分）则012yxyeyxeyzyxzxyxyx（3分）3、证明：令tx0000)(sin)(sin))(sin()()(sindtttfdttfdttftdxxxf得证（7分）8cos1sin2cos1sin20202dxxxdxxxx（3分）（十七）数学分析2考试题二、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(xf在[a,b]上可积的充要条件是（）A0,0和0使得对任一分法，当（）时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xiB0,0,0使得对某一分法，当（）时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xiC0,0使得对任一分法，当（）时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xiD0,0，0使得对任一分法，当（）时，对应于i的那些区间xi长度之和∑xi2、函数)(xf连续，则在[a,b]上xdttfdxd21)(=（）A)2(xfB)2(2xfC)(2xfD)()2(2xfxf4、1121dxx（）A-2B2C0D发散4、0limnna，则1nna()A必收敛B必发散C必条件收敛D敛散性不定5、若级数1nnb是1nna更序级数，则（）A1nna和1nnb同敛散B1nnb可以发散到+∞C若1nna绝对收敛，1nnb也收敛D若1nna条件收敛，1nnb也条件收敛6、)(1xann在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…），那么()Af（x）在[a，b]可导，且1'')()(nnxaxfBf（x）在[a，b]可导，但)('xf不一定等于1')(nnxaC1')(nnxa点点收敛，但不一定一致收敛D1')(nnxa不一定点点收敛7、函数项级数)(1xann在D上一致收敛的充要条件是（）A0,N（）0，使mnN有)()(1xaxamnB0,N0，使mnN有)()(1xaxamnC0,N（）0，使mnN有)()(1xaxamnD0,N（）0，使mnN有)()(1xaxamn8、1)1(1nnxn的收敛域为（）A(-1,1)B(0,2]C[0,2）D[-1,1）9、重极限存在是累次极限存在的（）A充分条件B必要条件C充分必要条件D无关条件10、),(00|),(yxxyxf（）Axyxfyyxxfx),(),(lim00000Bxyxfyxxfx),(),(lim00000Cxyxxfyyxxfx),(),(lim00000Dxyxxfx),(lim000三、计算题：（每小题6分，共30分）1、dxxxx11211cossin2、计算由曲线2,0,1xyyxy和2ex围成的面积3、求2xe的幂级数展开5、已知),(),,(vufxyyxfz可微，求yxz26、求yxyxyxf),(在（0，0）的累次极限三、判断题（每小题10分，共20分）1、讨论3coslnnn的敛散性2、判断121nnnxx的绝对和条件收敛性四、证明题（每小题10分，共30分）1、设f(x)是[-a，a]上的奇函数，证明0)(aadxxf2、证明级数04)!4(nnnxy满足方程yy)4(3、证明S为闭集的充分必要条件是Sc是开集。参考答案一、1、D2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B二、1、解：dxxxx11211cossin=dxxxx1121cossindxx11211（2分）由于21cossinxxx为奇函数dxxxx1121cossin=0（2分）dxx11211=2|arctan11x（2分）所以积分值为2（1分）2、解：两曲线的交点为（1，2）（2分）所求的面积为：1/222+6221edxx（4分）3、解：由于!!212nxxxenx（3分），!)1(!212422nxxxennx（3分）4、解：xz=yff21yz=xff21（3分）22122112)(xyffyxffyxz（3分）5、解：1limlim000yyyxyxyyx，（3分）1limlim000xxyxyxyxy（3分）三、1、解：由于222~coslnnn（6分），又121nn收敛（2分）所以原级数收敛（2分）2、解：当1||x时，有nxnxxx||12，所以级数绝对收敛（4分），当1||x时，2112xnxx，原级数发散（2分）当1||x时，有1122)1(1)1(1nnnnnnxxxx，由上讨论知级数绝对收敛（4分）四、证明题（每小题10分，共30分）1、证明：aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(（1）（4分）aaadttftdtftxdxxf000)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、证明：所给级数的收敛域为),(，在收敛域内逐项微分之，得114')!14(nnnxy124'')!24(nnnxy134''')!34(nnnxy144)4()!44(nnnxy（8分）代入得证（2分）3、证明：必要性若S为闭集，由于S的一切聚点都属于S，因为，对于任意的cSx。x不是S的聚点，也就是说，存在x的邻域),(xO使得SxO),(，即cSxO),(，因此Sc是开集。充分性对任意的cSx，由于Sc是开集，因此存在x的邻域),(xO使得cSxO),(，即x不是S的聚点。所以如果S有聚点，它就一定属于S.